常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中，nn n a a a 2,311+==+，求n a 。

5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

9、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ； 当4n >时，()f n = （用n 表示）．答案:1. (12n n n a +=） 2. (31)2n n n a += 3.21n a n =+ 4. 21n n a =+ 5. 13122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭6. 312n n a -=7. 1123n n a +=-8. 31n n a n =+-9. 312n a n =- 10.(1)2 (2) 22n a n n =-+11.(1)5 (2) 222n n -+类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅ 123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。

【类型二专项练习题】1、 已知11a =，111n n n a a n --=+(2n ≥)，求n a 。

2、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

3、已知}{n a 中，12n n na a n +=+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.4、已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

5、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、已知数列{}n a 满足11,a =12nn n a a +=，求通项公式n a ？7、已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

8、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项9、设{a n }是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a 21+n - na 2n +a n +1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式.10、数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.答案：1. 22n a n n =+ 2. 23n a n = 3. ()41n a n n =⋅+ 4. 631n a n =- 5. n a n = 6. 222n nn a -=7. 2123!25n nn n a n --=⨯⨯⨯ 8. 1!2n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩ 12n n =≥ 9. 1n a n =10. 22n a n n =+类型三：1(n na Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1B t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

例1 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。

解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。

1231n n a -∴=⋅-【类型三专项练习题】1、 在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

2、若数列的递推公式为*111,22()n n a a a n N +==-∈，则求这个数列的通项公式3、已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1(2)n ≥求通项a n ． 4、在数列{}n a (不是常数数列)中,1122n n a a +=+且113a =,求数列{}n a 的通项公式.5、在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .6、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.7、设二次方程n a x 2- 1.＋n a x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用n a 表示a 1n +； （2）求证：数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式8、在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若132a =，22a =，并且113210(2)n n n S S S n +--++=≥，试判断{}1()n a n *-∈N 是不是等比数列？答案：1. 32nn a =- 2. 122n n a -=- 3. 122nn a -=- 4. 111423nn a -=-⋅ 5. 1132n n a -+=6. 21nn a =- 7.(1) 11123n n a a +=+ (3) 2132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8.是类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A BCαββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n n a a α++是以21a a α+为首项， Aβ为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。

例1 在数列{}n a 中， 12a =，24a =，且1132n n n a a a +-=-()2n ≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：令11(),(2)n n n n a a a a n αβα+-+=+≥得方程组32βααβ-=⎧⎨⋅=-⎩解得1,2;αβ=-=()()1122n n n n a a a a n +-∴-=-≥则数列{}1n n a a +-是以21a a -为首项，以2为公比的等比数列11222n n n n a a -+∴-=⨯=21232343112222n n n a a a a a a a a ---=⎧⎪-=⎪⎪∴-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 112(12)2212n n n a a --∴-==--()*2n n a n N ∴=∈ 评注：在()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0中，若A+B+C=0,则一定可以构造{}1n n a a +-为等比数列。

例2 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-(2)n ≥,求n a解析：令()()112n n n n a a a a n αβα+-+=+≥，整理得()11n n n a a a βααβ+-=-+16βααβ-=-⎧∴⎨=⎩3,2αβ∴== ()1112133292n n n n a a a a --++=+⋅=⋅；两边同除以12n +得，11392224n n n n a a +++=， 令2n n na b =，13924n n b b +∴+=令()132n n b t b t ++=-+，得13522n n b b t ++=- 59,24t ∴-= ∴910t =-193910210n n b b +⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，故910n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以119911021010a b -=-=为首项，32-为公比的等比数列。

∴ 191310102n n b -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，191310102n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即1913101022n n na -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得()19123105n n n a -=⋅+- 【类型四专项练习题】1、已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。