§3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
)2()(2n n
s s s G ξωω+=
2
2
22)(n
n n
s s s ωξωω
++=Φ
)10(<≤ξ
1． 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
（1） 直角坐标表示
n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±=
（2） “极”坐标表示
⎩
⎨⎧=∠=βλωλn
⎩
⎨⎧-==21sin cos ξβξ
β
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
s
s s s R s s C n n n 1
2)()()(2
22
⋅++=Φ=ωξωω
)
2()2(]2[2222
n n n n
n s s s s s s s ωξωξωωξω+++-++= 2
22)1()(21n
n n s s s ωξξωξω-+++-=
22222222)1()(11)1()(1n
n n n n n s s s s ωξξωωξξξ
ωξξωξω-++-⋅---+++-= 利用复位移定理
[]
)()(a s F e t f L at
+=⋅- 系统单位阶跃响应为
t e t e
t h n t n t
n n ωξξξ
ωξξωξω22
2
1sin 11cos 1)(---
--=--
[]
t t e n n t n ωξξωξξ
ξξω222
2
1sin 1cos 111-+----
=-
[]
t t e n n t n ωξβωξβξξω222
1sin cos 1cos
sin 11-⋅+-⋅--
=-
()
βωξξ
ξω+---
=-t e
t h n t
n 22
1sin 11)( )10(<≤ξ
()t
t t h n n ωωcos 190sin 1)(-=︒+-=
)90,
0(︒==βξ
()
βωξξ
ξω+---
=-t e t h n t n 22
1sin 11)( )10(<≤ξ
系统单位脉冲响应为
[]⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++=Φ='=--222
112)()()(n n n
s s L s L t h t k ωξωω
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-++-⋅-=-22222
1)1()(11n n n n
s L ωξξωωξξω t e n t n
n ωξξωξω22
1sin 1--=
-
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应
3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
（1）峰值时间p t
)()(t k t h ='01sin 122
=--=
-t e
n t
n
n ωξξωξω
01sin 2=-t n ωξ
,3,2,,012πππωξ=-t n
由峰值时间定义
n
p t ωξπ
21-=
（2）超调量0
0σ
()
βωξξ
ξω+---
=-p n t p t e
t h p
n 22
1sin 11)(
()βπξ
ξξπ
+--
=--sin 112
12
e
2
11ξξπ
--+=e
0σ
0100)
()
()(⨯∞∞-=
h h t h p 0011002
⨯=--ξξπ
e
2
10000100e
ξπ
ξσ--=⨯
超调量0
σ
与阻尼比ξ之间的关系
（3）调节时间 s t
s t 对ξ的不连续性
调节时间的实际计算方法
2
2
110.05
11n n s
t
t e
e
-ξω-ξω+
-=
=-ξ
-ξ
n
n
s t ξωξωξ5
.3)1ln(21
05.0ln 2≈-+-= （8.03.0<<ξ）
n
s t ξω5
.3=
)5(0000=∆
n
p t ωξπ
21-=
2
10000100e
ξπ
ξσ--=⨯
00003.5
(5)
s n
t ξω=
∆=
例1 控制系统结构图如图所示
（1）开环增益10=K 时，求系统的动态性能指标；
（2）确定使系统阻尼比707.0=ξ的K 值。

解 （1） )11.0()(+=s s K
s G
10=K 时
10010100)(1)()(2++=+=Φs s s G s G s 2222n
n n
s s ωξωω++=
10100==n ω
5.010
210=⨯=ξ )60(︒=β
363.010
5.0112
2
=⨯-=
-=
π
ωξπ
n
p t
2
10
ξξπ
σ
--=e
005.01/5.03.162
==--πe
7.010
5.05
.35
.3=⨯==n s t ξω
(2) K s s K
s 101010)(2
++=Φ
⎪⎩
⎪
⎨⎧==K K n 10210
10ξω
令 707.0=ξ
得 510
42
100=⨯⨯=
K 4．“最佳阻尼比” ξ=0.707 ( ωn 确定时，t s 实际最小 )
● 极点实部 ξωn =C 时
● 无阻尼自然频率 ωn = C 时
例2 二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图(a),(b)所示。

试确定系统参数a K K ,,21的值。

解 由结构图可得系统闭环传递函数
2221221)(/1)()(K as s K K a s s K a s s K K s ++=+++=Φ ⎩
⎨⎧==n n
a K ξωω22
2 由单位阶跃响应曲线有
12
22
100lim )()(lim 2)(K K as s K K s R s s h s s =++=Φ==∞→→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==-==-=--2
1/
00209.02218.275.01ξξπσωξπe t n p
联立求解得 ⎩⎨⎧==278.5608
.0n
ωξ
.....22K 52782785a 206085278642⎧===⎨=⨯⨯=⎩
2
n n ω2ξω= 因此有 42.6,85.27,221===a K K 。

5．二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律
[ 计算演示]
欠阻尼二阶系统动态性能随极点位置的变化规律小结0
σ 2σωd
2ωd
j [ s ]
从直角坐标变化： 002003.5 3.51s n n s n n t t ξωξωβξσξωξωβξσ⎧=↓⎪↑⇒⎨⎪↓⇒↑⇒↓⎩
⎧=→⎪-↑⇒⎨⎪↑⇒↓⇒↑
⎩
从“极”坐标变化： ⎪⎩⎪⎨⎧→⇒→⇒→↓=⇒↑⇒↑⎪⎩
⎪⎨⎧↑⇒↓⇒↑↑=⇒↓↑00005.35.3σβξξωξωωσξβξωξωβn s n n n s n t t
例3 典型欠阻尼二阶系统
要求 ⎩
⎨⎧≤<<≤523.1650
00000n ωσ 试确定满足要求的系统极点分布范围。

解．依题意有
⎩
⎨⎧≤<>≥525.0707.0n ωξ ⎩⎨⎧≤<︒<≤︒526045n ωβ
[s] j
0.5 0 -0.5-1 2
4。