3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
阻尼比希望值为（0.4～0.8）
动态指标：tr 、 tp 、 p %、ts
（1）上升时间trc(t) 1
e nt
1 2
s in( d t
)
tg1
1 2
d n
1 2
依定义，令c(t)=1， c(tr ) 1
因为
entr
1 2
0
，有s in( d t
r
若 lim c(t) 0 t
（渐近）稳定
若 lim c(t)
t
系统不稳定
若 lim c(t) A
t
临界稳定
非零常数
设若n阶全系部统特表征达根式有为负实部，则
(sl)im t
CcR(((tss)))
0ba00ssmn
b1s m 1 a1s n 1
（ 渐 近bamn）11ss 稳 ab定mn
（2）K=16，T=0.25，得
0.25 n 8
将n 、 代入动态性能指标公式得
tr
d
0.24(s)
p % e / 1 2 100% 44%
tp
d
0.41(s)
ts
3.5
n
1.75(s)
( 0.05)
例3.7 系统及阶跃响应曲线如图 示,求K1、K2和a。
R(s) k1 _
有
e nt
1
2
sin(d t
)
(t ts )
所以
ent
1 2
sin(d t
)
ent
1 2
即
取 =0.707得
因为ts
3.5
snin((d t=5% ))
1
e nt
1 2
(t ts )
通常用包络线代替实际曲线估算ts， c(t)
如右图一对包络线
ents
包络线 1
1
1
1 2
ln ln 1 2
entr
1
)
2 sin(d
0
tr
)
1
j
即 dtr k (k 0,1, 2 )
取k=1,得
cos1
tr d
n 1 2
s1
jd
=cos ωn
0
-n
ξ一定时，ωn越大，tr越小 ωn一定时，ξ越大，tr越大
s2 欠阻尼二阶系统的特征参量
（2）峰值时间tp
c(t) 1
ent
1 2
e
1 2 100%
p% 仅与阻尼比ξ有关。
ξ越大， p %越小，系统 的平稳性越好.
ξ = 0.4~0.8 p %= 25.4%~1.5%。
（3）调整时间ts
c(t) 1
ent
1 2
sin(d t
)
单位阶跃响应进入± 误差带的最小时间。
(t 0)
依定义 c(t) c() c()
(t ts )
(m≤n)
j 1
k 1
其中 0 k 1
qlim2 c (nt拉) 氏A反变换为
t
临界稳定
大范围稳定 小范围稳定
图示用曲线表示稳定性的概念和定义
r(t)
r(t)
C(t)
(a)外加扰动
C(t)
C(t)
(b)稳定
(c)不稳定 注意：仅适用于线性定常系统
3.5.2线性系统稳定的充要条件
稳定的条 系统件初始条件为零时，受到δ( t)的作用，输出 c(t)为
单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏 离平衡点的问题，当t→∞时，
例3.5 如图示，（1）求特征参数与实际参数的关系； （2）K=16，T=0.25，计算动态性能指标。
解：(1)
(s)
Ts2
K s
K
K /T s2 s/T K /T
R(s)
-
k
C(s)
s(Ts 1)
与典型二阶系统比较，得
1 T 2 n
K T n2
特征参数与实际参数的关系为 1
2 KT
n K T
K2
C(s)
s(s a)
解：由图(b) 得 c() 2
(a)
tp
0.8(s)
%
2.18 2 2
0.09
系统输出
C(s)
(s)
R(s)
s(s2
K1K2 as
K2)
C(t) 2.18
2
c()
lim
s0
sC
(
s)
K1
(0)
得K1=2。是闭跃响应的稳态输出值
ts
n
0
e- nt 1
1 2
包络线 T 1
n
e- nt 1
1 2
t
小结
1、二阶系统的动态性能由ωn和决定。 2、增加 降低振荡，减小超调量 p %， 系统快速性降低，tr、tp增加；
3、 一定，ωn越大，系统响应快速性越好， tr、tp、 ts越小。
4、 p %仅与有关，而tr、tp、ts与 、ωn有关，通 常根据允许的最大超调量来确定 。 一般选择 在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬 态响应时间。
稳 定 的 摆
不 稳 定 的 摆
不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。
小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 态，系统为小范围稳定。
线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定。
扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。
tp是阻尼振荡周期的一半
（3）超调量 p %
c(t) 1
ent
1 2
sin(d t
)
依定义将
tp
d
n
1 2
代入上式
得 c(tp ) 1
1 e / 1 2 sin( ) 1 e / 1 2 1 2
(t 0) (t 0)
最大超调量百分比为
p
%
c(t
p ) c() c()
100%
由超调量和峰值时间公式得
ln 2 2 ln 2
0.608
ln 2 2 ln 2
0.608
2n a n2 K2
得K2=24.46 , a=6.01。
3.5线性系统的稳定性分析
35.1 稳定性概念及定义
系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后，又恢复到 平衡状态，称系统是稳定的。 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定，与初始条 件及外作用无关。
sin(d t
)
(t 0)
依定义，令上求导式为零。得
dc(t ) dt |t t p 0
s1 =cos
j jd ωn 0
所以
ent p n 1 2
sin(dt p
)
0
-n s2
因为
entp n
0
1 2
有 sin d t p 0
即 dt p 0, ,2 ...
得
tp
d
n
1 2
ξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn 一定时，ξ越大，tp越大。
理想有脉一冲个函或数一作个用以下上R正(s实)=1根,输或出实量部的为拉正氏的变共换轭为复根，其余
C有的(s)一根 个具(或有s)R一负(tls i个实)m以部cin1(上,t则()s零Ais实i ) 部 根q (，s 其s j余)K系r的im统(1s具(2不s有稳2z负i )定k实k s部 k2)