正弦定理和余弦定理的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。

1、与实际应用问题有关的名词、术语①铅直平面：与水平面垂直的平面②坡角：坡面与水平面的夹角③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于90⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角2、解三角形应用问题步骤（1）准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；（4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。

类型一：测量距离、高度问题例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧,A B 间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定,A B 两点间的距离的是（）A.角,A B 和边bB.角,A B 和边aC.边,a b 和角CD.边,a b 和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D答案：D练习1. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．4003mB ．40033m C ．2003m D ．200m解析：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003. ∴CD ＝AB －AM ＝4003.答案：A练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m解析：设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 答案：D例2：一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．解析：如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中：OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 答案：6 km练习3：在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________． 解析：由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC ＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．练习4：两船同时从A 港出发，甲船以每小时20n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile. 解析：如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC ＝28(n mile)． 答案：28规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。

类型二：测量角度问题、三角形综合题 例3：在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．北偏东35°D ．南偏西55° 解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°. 答案：D练习5：已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40，灯塔B 在观察站C 的南偏东60，则灯塔A 在灯塔B 的（）A.北偏东40B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10 答案：B练习6：某观察站C 与两灯塔,A B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30 处，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔,A B 间距离为（）A.400米B.500米C.800米D.700米 答案：D例4：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan C = （）A.34 B.43 C.43- D.34- 解析： 由()222222222222,2212sin 22sin 2S a b c S a b ab c ab C a b ab c ab C ab a b c =+-=++-∴⨯=++-∴-=+-即222sin 2a b c C ab +--= 又222cos 2a b c C ab+-=，所以1sin 22cos ,1cos sin 2C C C C -=+=又22cos 12cos ,sin 2sin cos ,2cos sin cos 2222224tan 2,tan 23C C C C C C C C C C +==∴=∴==-答案：C练习7：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan2C= （） A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案：A练习8：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则2tan 2C= （） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B1. 在某测量中，A 在B 的北偏东45°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西45°答案：D2. 在某测量中，A 在B 的南偏西45°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东45° C ．北偏东35° D ．南偏西45° 答案：B3.在100m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.2003m B. 2003mm D.400m 答案：A4. 要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝60m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．60m 答案：D5. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么2cos α等于( )A ．35 B ．45 C ．1625- D ．1625答案：D6. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 的南偏东70°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东20° B ．北偏西20° C ．南偏东20° D ．南偏西20°答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 某人向正东走x Km ，向右转150，然后朝旋转后的方向走3km 后，他离最开始的出发点的距离，那么x 的值为__________答案：2. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ．3a kmC ．2a kmD ．2a km答案：B3. 有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A ．5 mB ．10 mC ．10 2 mD ．103m 答案：C4. 江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103mB ．1003mC ．203mD ．30m答案：D5. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( ) A ．502m B ．503m C ．252m D ．2522m 答案：A6.一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km) 答案：5.27. 如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(6＋3)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h 答案：B能力提升8. 某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)． 答案：如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．9.甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？ 答案：如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at ＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．10. 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O (如图所示)的东偏南θ(cos θ＝210)方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 答案：如图所示，设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t ＋60)km.若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60.由余弦定理，得OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2·PQ ·PO ·cos ∠OPQ ， 由于PO ＝300，PQ ＝20t ，∴cos ∠OPQ ＝cos(θ－45°)＝cos θcos45°＋sin θsin45° ＝210×22＋1－2102×22＝45， 故OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×45＝202t 2－9600t ＋3002，因此202t 2－9600t ＋3002≤(10t ＋60)2， 即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24. 答：12h 后该城市开始受到台风的侵袭．11. 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．答案：解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3.在△BPC 中，根据正弦定理，得PC sin2θ＝PBsin (π－4θ)，即103sin2θ＝30sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得， 300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ， 化简得：cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法三：如下图，过顶点C 作CE ⊥PB ，交PB 于E ，∵△BPC 为等腰三角形， ∴PE ＝BE ＝15. 在Rt △BEC 中，cos2θ＝BE BC ＝15103＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.12. 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile 的B 处．现在“白云号”以每小时10n mile 的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile 的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．答案：如右图，设经过t h ，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD ．则根据题意，知在△ACD 中， AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，得 CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos60° ＝244t 2－560t ＋400＝244(t －7061)2＋400－244×(7061)2， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．答：经过7061h 后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．13. 如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile 后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．答案：在△ABC 中，AC ＝8，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，∠CAB ＝90°－75°＝15°，∴∠ABC ＝15°.∴△ABC 为等腰三角形，BC ＝AC ＝8，在△BCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝8，∴BD ＝BC ·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．课程顾问签字： 教学主管签字：11。