高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.1 正弦定理和余弦定理一、填空题1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，π32．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝43.答案433．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析 由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B ， 即sin B ＝12.又C 为钝角，所以B 必为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π6.故a＝b ＝1.答案 14.在△ABC 中,已知5210a c A =,=,=30,则B 等于________.解析 根据正弦定理sin sin a c A C =,得sin 1102sin 2252c A C a ⨯===. ∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15. 答案 105或155．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.解析 设AB ＝a ，∴BD ＝23a ， BC ＝2BD ＝43a ， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a22a 2＝13∴sin A ＝1－cos 2A ＝223由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 答案 666．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4.答案 π47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则角A 的大小为________．解析 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.答案π38．已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π3，则△ABC 的周长为________(用含角A 的三角函数表示)．解析 由正弦定理，得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2sin A sin π3＋2sin Bsinπ3＋2＝43sin A ＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋2＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋2. 答案 4sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋29．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 △ABC 的面积为________．解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是由cos 120°＝b 2＋b －2－b ＋22b b －＝－12，解得b ＝10，S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案 15 310. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为________． 解析 由a 2－b 2＝3bc ，c ＝23b ，得a 2＝7b 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，所以A ＝π6. 答案π611.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则cos AC A的值等于 ,AC 的取值范围为 .解析 设2A B θθ=⇒=.由正弦定理得sin2sin AC BC θθ=, ∴122cos cos AC AC θθ=⇒=.由锐角△ABC 得0290θ<<0⇒45θ<<, 又0<180390θ-<30⇒60θ<<,故3045θ<<22⇒<cos 32θ<, AC=2cos θ,∴(23)AC ∈,.答案 2 (23),12．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝________.解析 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c . 平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac . 又△ABC 的面积为32，且B ＝30°，故由S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝14ac ＝32，得ac ＝6，所以a 2＋c 2＝4b 2－12.由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－12－b 22×6＝b 2－44＝32.解得b 2＝4＋2 3.又因为b 为边长，故b ＝1＋ 3. 答案 1＋ 313．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan Ctan B的值是________． 解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋ab ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2.而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c2＝4.答案 4 二、解答题14．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc . (1)求A ；(2)若B －C ＝90°，c ＝4，求b .(结果用根式表示)解析 (1)由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)由⎩⎨⎧B ＋C ＝120°，B －C ＝90°得B ＝105°，C ＝15°.由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°sin15°，∴b ＝4tan75°，∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°1－tan30°＝2＋3，∴b ＝8＋4 3.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13. (2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79，sin2A ＝2sin A cos A ＝429. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2， cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解析 (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.所以sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解析 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， 即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2. (2)由(1)知sin C sin A ＝2，所以有ca＝2，即c ＝2a ，又因为△ABC 的周长为5， 所以b ＝5－3a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×14，解得a ＝1， 所以b ＝2.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且cos 〈AB →，AC →〉＝14.(1)求sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝4，b ＋c ＝6，且b ＜c, 求a ，c 的值． 解析 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A＝12[1－cos(B ＋C )]＋(2cos 2A －1) ＝12(1＋cos A )＋(2cos 2A －1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1＝－14.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， 即16＝36－52bc ，∴bc ＝8.由⎩⎨⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b ＜c ，可求得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4.。