第14讲可能性
一、知识梳理
1、搭配问题
排列是从n个给定的元素中选出m个元素按照一定的顺序排成一列；组合是从n个不同元素中取出m个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。

排列与顺序有关，组合与顺序无关。

如:组数、选择出行路线，比赛场次等。

简单的排列方法
(1)按顺序选定一个事物放在首位，再把剩下的事物排好顺序。

(2)先分组，再在组内按顺序排列。

简单的组合方法
(1)按顺序依次搭配，不重复、不遗漏。

(2)按顺序选定一个事物放在首位进行分组，再把剩下的事物进行分组组合，不重复、不遗漏。

2、可能性
确定与不确定：生活中一些事情是必然的，是一定会发生的，这些事情的发生就是确定的。

如人活着必定要呼吸空气。

生活中一些事件时而发生，时而不发生，这些事件的发生时不确定的，如明天下雨。

一定，可能，不可能：对事件发生的可能性大小，可以用“一定〞“可能〞“不可能〞等词语描述。

〔１〕一定：如我们抛一块石头，就知道它必然会下落，这时就可以用“一定〞这个词来描述。

〔２〕不可能：“瀑布的水倒流〞是不可能发生的，这类事件就可以用“不可能〞来描述。

〔３〕可能：不确定的现象，我们掷一枚硬币，硬币落下也许是正面朝上，也许是反面朝上，这时就可以用“可能〞来描述。

随机现象：事前不可能预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或知道事物过去的状况，但未来的开展却不能完全肯定。

总之，一般无论在什么情况下都发生的事件用“一定〞来描述；无论在什么情况下都不会发生的用“不可能〞来描述；在有些情况下发生，有些情况下不发生的事件，用“可能〞来描述。

二、例题精讲
考点1 搭配问题
【例1】用3，5，0三个数字可以组成〔 〕个不同的三位数〔每个数字不能重复〕
【精析】简单的排列组合问题，按照一定的顺序来写，做到不重不漏。

可分为:百位数字是3的有:305 ,350共2个;百位数字是5的有:503,530共2个，所以总共有4个不同的三位数。

【答案】4
【归纳总结】注意0不能写在最高位上。

练习1 六年级5个班进行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要比赛( )场。

【精析】简单的排列组合问题，从左往右依次组合，不重不漏。

【答案】六年级5个班记为A,B,C,D,E ，与A 班进行的比赛有:A →B , A →C , A →D , A →E 共4场;与B 班进行的比赛有:B →C,B →D,B →E 共3场;与C 班进行的比赛有:C →D,C →E 共2场;与D 班进行的比赛有:D →E 一场。

所以总共有4+3+2+1 =10场比赛。

【归纳总结】此题考查循环赛场次问题:有n 个班(或组)进行单循环比赛，那么比赛场次共有(n1)+(n 一2)+…+2+1场。

考点2 可能性的相关计算
【例2】十张数字卡片写出1—10十个数，抽到质数的可能性〔 〕 A.52 B.103 C.21 D.5
1 【精析】 首先求出1—10十个数中质数有多少个，然后根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答，用质数的个数除以10，求出抽到质数的可能性是多少即可。

因为1—10十个数中质数有４个 ：2,3,5,7,，所以抽到质数的可能性是 ：４÷10＝5
2 【答案】 A
【归纳总结】解答此类问题的关键是分两种情况 ：〔1〕需要计算可能性的大小的准确值时，根据求可能性的方法 ：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可 ；〔2〕不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据质数、合数数量的多少，直接判断可能性的大小 。

考点3 判断游戏的公平性
【例2】小华用下面的转盘设计了一个游戏:指针指到红色，甲胜;指针指到黄色，乙胜，这个游戏公平吗?为什么?
【精析】看转盘的红色区域和黄色区域占整体的多少，再进行比拟即可得出答案。

【答案】指针指向红色的可能性是
64，指针指向黄色的可能性是62，所以甲胜的可能性大，这个游戏不公平。

【归纳总结】此题考查了游戏的公平性，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的可能性=m
n ，解决此题的关键是得到相应的可能性，可能性相等就公平，否那么就不公平。

注意转盘应均等分。

—— 随堂检测 ——
★名校真题
1、一个布袋中装有2个黑球，3个红球，再放( )个红球，任意摸一个球，摸到黑球的可能性是20%。

A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】黑球可能性＝黑球÷总球数，2÷20％＝10，所以再放5个红球，所以选B ； 2、一个正方体的六个面上，有1个面上写“1〞，2个面上写“2〞，3个面上写“3〞.任意抛这个正方体，奇数朝上的可能性是 （ ） （ ）
. 3、小强把1 9的数字卡片共九张打乱顺序反扣在桌上，从中任意摸一张，摸到质数的可能性与摸到合数的可能性相比〔 〕
A .摸到质数的可能性大
B .摸到合数的可能性大
C .摸到质数与摸到合数的可能性相等
D .无法确定
4、奥运会上，八个国家，每两个国家赛一场，共要赛( )场。

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5、一列火车往返于苏州和南京之间，途中要停靠无锡、常州、镇江3个站，这列火车要准备〔 〕种不同的车票。

A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
【答案】D
【解析】注意往返
6、体育比赛中，小王、小李、小张获得了前三名，名次没有并列，他们三人获得前三名的情况共有〔〕
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
7、一个正方体的六个面上分别标有4个“1〞、1个“2〞、1个“3〞，抛起正方体，落下后朝上的面上的数〔〕。

A. 一定是奇数
B. 可能是偶数
C. 一定大于3
8、将两枚1元硬币同时抛出，落地后出现“1正1反〞〔即一枚正面朝上，另一枚反面朝上〕的可能性与出现“2正〞〔即两枚都正面朝上〕的可能性比拟，结果是〔〕。

A.“1正1反〞的可能性大
B.“2正〞的可能性大
C.可能性相等
D.无法确定
9、一次数学考试,5名同学的分数从小到大排列是76分、82分、86分、a分、92分,他们的平均分可能是〔〕
A.84 分
B. 85 分
C. 86 分
D. 87 分
【答案】B
【解析】当a为86时，平均分为〔76＋82＋86＋86＋92〕÷5＝84.5，当a为92时，平均分为〔76＋82＋86＋92＋92〕÷5＝85.6，所以平均分应该在84.5到85.6之间，故答案选B
★冲刺提升
1、从8人的兴趣小组中选2人。

(1)分别担任正副组长，有多少种不同的选法?(2)一起去参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法?
1.【解析】排列组合问题。

〔1〕8×756〔种〕
答：有56种不同的选法。

〔2〕7+6+5+4+3+2+128〔种〕
答：有28种不同的选法。

2、数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。

王老师猜想:小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。

结果老师只猜对了一个，那么小明得( )、小华得( )、小强得( )。

铜牌金牌银牌。