第七讲 多面体与旋转体多面体与旋转体是高中数学的重要内容之一，是考查各种能力的重要载体，其中异直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角（理）以及点到平面的距离、简单图形侧面积与体积的计算是高考考查的重点内容。

本讲从内容上来说，主要集中在多面体与旋转体的概念与性质及其应用、截面面积、侧面积、全面积以及各种角与距离的计算等方面；从思想方法上来说，体会化“曲”为“直”、祖恒原理和图形割补等化归思想。

【高考热点】异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，空间线面位置关系的判断，面积与体积的计算。

【范例精讲】 例1．（1）正三棱锥S A B C -的侧棱,,SA SB SC 两两垂直，体积为V ，,,A B C '''分别是,,SA SB SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 41,31,21='='='，则三棱锥S A B C '''-的体积为（ ）（A ）V 91（B ）V121（C ）V241（D ）V721（2）如图，在多面体ABC D EF 中，已知A B C D 是边长为1的正方形，且A D EBC F ∆∆、均为正三角形，//,2EF AB EF =，则该多面体的体积为（ ） （A 3（B 3（C ）43（D ）32解：（1）选C ；（2）选A 。

说明：对于第（1）小题，注意转化三棱锥的顶点灵活使用体积计算公式；对于（2）则需要利用图形的割补思想求解。

例2．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为4R （R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离。

解：设北纬45圈的半径为r ，则4r R =，设O '为北纬45圈的圆心，A O B α'∠=，则4r R α=，24R R α=，2πα=，所以AB R ==，在AB C ∆中，3A OB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π。

说明：要求两点的球面距离，应先由已知条件求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进一步求出这两点的球面距离。

例3．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中G C D ∠E D C =∠90F =∠=︒，且AD C D D E C G ===，FG FE =．若将五边形C D E F G 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱。

(1) 图2为面ABC D 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；(2) 已知该储蓄罐的容积为31250cm V =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）。

解：(1) 该储蓄罐的直观图如右图所示；(2) 若设A D a =，则五边形C D E F G 的面积为254a ，得容积3512504V a ==，解得10a =，其展开图的面积2221550(116912S a a =++=+≈，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为6912cm 。

例4．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，4=AB ，81=AA 。

（1）求异面直线C B 1与11C A 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动．点．，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题。

解：（1）如图，连接A C 、1A B ，由11//AA CC =，11D AB C DFGE图1ABCD图2AB CDFGE知11A ACC 是平行四边形，则11//A C AC =， 所以1B C A ∠为异面直线C B 1与11C A 所成角。

在1B C A ∆中，AC =11AB B C ==，则2221111cos 210AC B C AB AC B AC B C+-∠==⋅所以1arccos 10AC B ∠=（也可用向量求解）（2）第一种：提出问题：证明三棱锥1E B BC -的体积为定值。

问题解答：如图，因为1//D D 平面11B BCC ，所以1D D 上任意一点到平面11B BCC 的距离相等，因此三棱锥1E B BC -与三棱锥1D B B C -同底等高，11E B BC D B BC V V --=。

而11111644843323D B B C B B C V S D C -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥1E B BC -的体积为定值643。

说明：若在侧面11B BCC 上任取三个顶点，与点E 构成三棱锥时，结论类似。

第二种：提出问题：三棱锥E A D C -的体积在E 点从点D 运动到1D 过程中单调递增。

问题解答：因为13E A D C A D C V S D E -∆=⋅⋅，知A D CS ∆为定值，则三棱锥E A D C -的体积与D E 成正比，可知E AD C V -随着D E 增大而增大，又因为()0,8DE ∈， 即三棱锥E A D C -的体积在E 点从点D 运动到1D 过程中单调递增。

说明：（1）若提出的问题是求三棱锥E A D C -的体积范围，也可。

11A1D1C 1A1D解答：因为8AD C S ∆=，而83E A D C V D E -=，()0,8DE ∈， 则64(0,)3E AD C V -∈。

（2）若在底面A B C D 上任取三个顶点，与点E 构成三棱锥时，结论类似；若在底面1111A B C D 上任取三个顶点，与点E 构成三棱锥时，结论类似（单调递减）。

【巩固提高】 一、填空题：1．正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，侧其体积为___________________。

2．在长方体1111ABC D A B C D -中，4A B B C ==，15AA =，P 是11C D 的中点，则直线P A 与平面A B C D 所成角的大小是___________________（结果用反三角函数值表示）。

3．已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 。

4．圆锥的顶角为120°，高为a ，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为___。

5．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为_____。

6．北纬45 圈上有,A B 两地，A 在东径120 ，B 在西径150 ，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；7．若四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB=PD=a 2，则在它的五个面中，互相垂直的面共有______对。

8．某厂生产的产品外形为正方体，棱长为cm 1，现设计一种长方体形纸箱做为包装，要求每个长方体形纸箱恰好装12件正方体形产品，则长方体形纸箱的表面积的值是_______2cm （只需写出一个可能的值）。

二、选择题：9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下面结论错误．．的是( ) （A ） BD ∥平面CB 1D 1 （B ）AC 1⊥BD（C ）AC 1⊥平面CB 1D 1 （D ）异面直线AD 与CB 1角为6010．把边长为4和2的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为（ ） （A ）16π（B ）8π （C ）16π或8π（D ）16π或32π11．正四棱柱1111-ABC D A B C D 中，13,4AB BB ==，长为1的线段PQ 在棱1A A 上移动，长为3的线段M N 在棱1C C 上移动，点R 在棱1B B 上移动，则四棱锥R PQMN -的体积为（ ）（A ）6 （B ）10（C ）12 （D ）不确定12．在直三棱柱111-C B A ABC 中，2π＝BAC ∠；1AA AC AB ＝＝＝1．已知E G 与分别为11B A 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若EF GD ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 （ ）(A)），155[（B ）)2151[， （C ）），21( （D ）），2251(三、解答题：13．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC C A ===，求球的表面积和体积。

14．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱11D C 的中点，F 是侧面D D AA 11的中心。

（1） 求三棱锥EF D A 11-的体积；（2） 求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小。

（结果用反三角函数表示）15．如图，直三棱柱111ABC A B C -底面A B C ∆中，1,CA CB ==90BCA ∠= ，棱12AA =，,M N 分别是111A B A A 、的中点（1）求B N 的长； （2）求BN 与CB 1所成的角；（3）求证：11C M A B ⊥。

16．如图，正方形A C D E 的边A E 与平面ABC 垂直，M 是C E 和A D 的交点，A C B C ⊥，且A C B C =。

（I ）求证：A M ⊥平面EBC ；（II ）求直线A B 与平面EBC 所成的角的大小； （III ）求二面角A E B C --的大小。

参考答案：1．18 2．arctan23．33 4．22a 5．63a6．3R π7．4对8．50，40，38，32（只需写出一个可能的值） 9．D 10．D 11．C 12．A13．解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则22323O A '=⨯⨯=，在Rt O O A '∆中，222OA O A O O ''=+，所以222134R R =+，43R =，所以26449S R ππ==，3344425633381V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭球。

14．解：（1）3111311111=⋅⋅==--F D A E EF D A V V 。

（2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，在GEF Rt ∆中22tan =∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是22arctan。

（也可用向量法求之）15．解：解法一：（1）因为点N 为直三棱柱侧棱中点所以N A A B ⊥，且1112AN AA ==， 又901BCA CB CA ∠===，，所以AB =所以||BN ==。

（2）分别延长111AA BB C C 、、至222A B C 、、，使222132A A B B C C A A ===，连结12B A ，则12//B A BN ，B N 与C B 所成的角，即为12B A 与C B 的夹角，连结2A C ，在21A B C ∆中，12B A BN ==1C B =2CA =12cos CB A ∠==所以异面直线BN 与CB 1所成的角为。