( n 1)!
拉格朗日型余项
( 介于 x 与 x0 之间)
（） 1 式称为 f ( x ) 在 x0 点带有 拉格朗日型余项 的 泰勒公式 . 证明略
特别，当 x0 0 时, 有
f ( x)
k 0 n
f
(k )
( 0)

x
k
f
( n 1 )
( x )
k!
( n 1)!
(k )
( x0 ) f
(k )
( x0 ) ( k 0,1,2, , n) 则
Pn ( x ) 与 f ( x ) 在 x0 附近有较高的接近程度 .
假设 pn
(k )
( x0 ) f
(k )
( x0 ) ， ( k 0,1,2, , n)
2 n
pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 )
寻找一个在 x0 附近与 f ( x ) 尽可能
n
接近的n 次多项式:
pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )
怎样构造 pn ( x )（如何确定它的系数） ？
使得在 x0 附近 Pn ( x ) 与 f ( x ) 很接近！
pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 )
推广了的微分中值定理 .
如 对 一 固 的 果 某 个 定
n， M 0,
x U ( x0 )
Rn ( x ) f
有
(n1)
f
( )
( n1)
(x) M .
n1
则
n1
( n 1 )!
( x x0 )
M
x x0
( n 1 )!
,
lim
Rn ( x ) ( x x0 )
2
n
分
析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.若在 x 0 点相交
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn ( x0 ) f ( x0 )
y pn ( x )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
x

如果 pn
f ( x)

k 0
n
f
(k )
( 0)
x o( x )
k n
.
k!
称为带有皮亚诺型
余项的 麦克劳林公式 .
二. 函数的高阶多项式逼近
f ( x ) e x 的 n 阶麦克劳林公式. 例1 求
解


f ( x ) f ( x ) f
( n)
( x) e ,
x
( n)
f ( x0 ) 2!
( x0 )
n!
( x x0 )
n
Pn ( x )称为函数 ( x )在x0的n次泰勒多项式 f .
Pn ( x )完全由f ( x )惟一确定！
） 定理1（泰勒中值定理 若函数 f ( x ) 在 U ( x0 )
具有直到n 1 阶的导数，则 x U ( x0 ) ，有
a0 f ( x0 ), 1 a1 f ( x0 ), 2!a2 f ( x0 ),
,
n!a n f
( n)
( x0 ) . a k
f
(k )
( x0 )
k!
( k 0,1, , n)
( x x0 )
2
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f
( n)
f (0) f (0) f (0) f
( n 1)
(0) 1
注意到 f
(x ) e
x
n
x
代入公式,得
e
x
n1
e 1 x
x
x
2


2!
n!
( n 1)!
x
(0 1).
例 2 求函数 f ( x ) cos x 的 n 阶麦克劳林公式
n 1
x
n
o( x ) ;
n
2
3
n
带有 皮亚诺型 余项 的 麦克劳林公式 .
[ln( 1 x )]
( n1)

( 1) n!
n
( x 1)
k 1
n1
k
ln( 1 x )
( 1)
k 1
n
x

( 1)
n
x
n1 n1
k
( n 1)( 1)
.
( 介于 0 与 x 之间)
x
n 1
( 0 1)
拉格朗日型余项 的 麦克劳林公式 称为带有 麦克劳林( Maclaurin,1698-1746，英国 ) 注意: 在（1）中，当 n 0 时, 即
.
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间 )
泰勒公式 1） （ 也称为含有高阶导数的
3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近
一. 泰勒公式 问题的提出：
附近时，有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
泰勒（Taylor ） 1685 1731 , 英国 .
如果 f ( x ) 在点 x0 可微，则当 x 在 x0
.
解
f
(n)
( x ) cos( x
n 2
), f
(n)
( 0 ) cos(
(4)
n 2
)
f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 , f
2 4 2n
( 0 ) 1,
)
x
2n2
cos x 1
x

x
( 1)
带有 拉格朗日型余项
的
麦克劳林公式 .
(1 x )

1 x
( 1)
2!
x
2

n n

( 1)( n 1)
n!
x o( x ) ;
( R )
1 1 x
1 x x x o( x ) .
2
n
n
例3
计算 lim
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 2!
n
( x x0 )
2

其中 Rn ( x )
f
f
( n)
( x0 )
( )
n!
( n 1 )
( x x0 ) Rn ( x ) （ ） 1
( x x0 )
n 1
n
n
n
0.
在不需要余项的精确
表达式时， n 阶泰勒公式可写为：
f ( x)

k 0
f
(k )
( x0 )
k!
( x x0 ) o[( x x0 ) ] .
k n
称为带有皮亚诺（Peano,1858-1932,意大利）
型余项的 泰勒公式 .
特别， x0 0 时, 有 当
x0
e
x
2
2 cos x 3 x
4
.
4
解
e
x
2
1 x
2
1 2!
x
4
x o( x )
4
cos x 1
x
2

o( x )
4
2!
4!

e
x
2
2 cos x 3 (
7 x o( x )
4 4
1 2!
2
7 12
1 4!
) x o( x )
4 4
n
x
cos( x
2n 2
2!
4!
( 2 n )!
2 ( 2 n 2 )! (0 1)
cos x 1
x
2

x
4
( 1)
n
x
2n
o( x
2n
)
2!
4!
( 2 n )!
常用函数的麦克劳林公式
e
x
1 x
x
2

x
n
o( x );
n
f 的线性近似 f ( x ) L( x ) ,
L( x )
所产生的误差是：
比 x x0 高阶的无穷小 ( x x0 ).
设 f ( x ) 在 x0 点具有直到n 阶的导数 .
问题: 办法:
能否用高次多项式 pn ( x ) f ( x ) ,
使误差 : Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) 可以估计！
2!
sin x x x
3
n!
x
5

( 1)
n
x
2 n1
3!
5!
( 2n 1)!
o( x
2 n1
) ;
cos x 1
x
2

x
4
( 1)
n
x
2n