《常用逻辑用语》全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【知识网络】【要点梳理】要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x （3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图： “A B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断； （2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）： 命题的真假判断（利用真值表）：pq非p p q 或 p q 且真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假真真真假互逆⌝⌝否命题若p 则q原命题若p 则q逆命题若q 则p⌝⌝逆否命题若q 则p互逆互逆否为互逆否为否否互互（3）对于“若p ，则q ”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ∀”表示，读作“对任意 ”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∀∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。

表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“∃”表示，读作“存在 ”。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∃∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.对含有一个量词的命题进行否定 （1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ： ,()x M p x ∀∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∃∈⌝ 。

全称命题的否定是特称命题。

（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ： ,()x M p x ∃∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∀∈⌝ 。

特称命题的否定是全称命题。

要点诠释：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。

（2）一些常见的词的否定：【典型例题】类型一：命题的四种形式例1. 写出命题“已知,a b 是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

【思路点拨】找准条件和结论，根据定义写出命题，再利用知识进行判断. 【解析】逆命题：已知,a b 是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知,a b 是实数，若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题； 逆否命题：已知,a b 是实数，若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题。

【总结升华】1.“已知,a b 是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：【变式1】“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a c >，b d >，则a b c d +>+”，写出下面相应的命题，并判断真假.上述命题的逆命题为： , ； 上述命题的否命题为： , ； 上述命题的否定为： , . 【答案】逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a b c d +>+ ，则a c >，b d >；假命题。

否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a c ≤或b d ≤，则a b c d +≤+；假命题。

命题的否定：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a c >，b d >，则a b c d +>+/.假命题。

【变式2】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

（1）若q<1，则方程x 2+2x+q=0有实根； （2）若x 2+y 2=0,则x,y 全为零。

【答案】（1）逆命题：若方程x 2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题； 否命题：若q ≥1，则方程x 2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程x 2+2x+q=0无实根，则q ≥1，真命题。

（2）逆命题：若x,y 全为零，则x 2+y 2=0,真命题； 否命题：若x 2+y 2≠0,则x,y 不全为零，真命题；逆否命题：若x,y 不全为零，则x 2+y 2≠0，真命题。

【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例1】 例2. 写出下列命题的否命题：（1）若abc=0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； （2）若x 2+y 2=0，则x ，y 全是0. 【解析】（1）若0abc ≠，则a ，b ，c 都不为0； （2）若220,x y +≠则x ，y 不都为0.【总结升华】注意否命题的结构和含有逻辑量词的命题的否定. 举一反三：【变式】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

（1）若q<1，则方程x 2+2x+q=0有实根； （2）若x 2+y 2=0,则x,y 全为零。

【答案】（1）逆命题：若方程x 2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题； 否命题：若q ≥1，则方程x 2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程x 2+2x+q=0无实根，则q ≥1，真命题。

（2）逆命题：若x,y 全为零，则x 2+y 2=0,真命题； 否命题：若x 2+y 2≠0,则x,y 不全为零，真命题； 逆否命题：若x,y 不全为零，则x 2+y 2≠0，真命题。

类型二：充分、必要条件，充要条件的判断例3. 填空（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）。

（1）已知：p ：0m >；q ：方程20x x m +-=有实根. 则p 是q 的 条件；（2）已知：p :|1|4x +≤；q :256x x <-.则p ⌝是q ⌝的 条件. 【思路点拨】运用二次方程有无实根，解绝对值不等式及一元二次不等式进行判断. 【解析】(1)方法一：定义法∵0m >⇒方程20x x m +-=有实根，且方程20x x m +-=有实根0⇔∆≥140m ⇔+≥⇒/0m >.所以p 是q 的充分而不必要条件。

方法二：从集合的观点入手p ：{|0}m A m m ∈=>q ：{|m B m ∈=方程20x x m +-=有实根}1{|}4m m =≥-因为AB ，所以p 是q 的充分而不必要条件.（2）p :|1|4x +≤53x ⇔-≤≤；q :256x x <-2560x x ⇔-+<23x ⇔<<.由图知：q ⇒p 但p q ,故q 是p 的充分不必要条件,故p ⌝是q ⌝的充分不必要条件.【总结升华】1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是p ⌝与q ⌝关系. 举一反三：【变式1】指出下列各组命题中, A 是B 的什么条件（1）A ：2,p p R ≥∈；B ：方程230x px p +++=有实根； （2）A ：231x ->；B ：2106x x >+-；（3）A ：圆222x y r +=与直线0ax by c ++=相切；B ：2222()c a b r =+. 【答案】(1)必要非充分条件． ∵2p ≥⇔2p ≥或2p ≤-，方程230x px p +++=有实根⇔0∆≥⇔214(3)02p p -+≥⇔≤-或6p ≥， ∴{|2A p p =≥或2}p ≤-{|6B p p =≥或2}p ≤-，即x A ∈x B ∈.所以A 是B 的必要非充分条件． (2)必要非充分条件∵23112x x x ->⇔<>或；210326x x x x >⇔<->+-或， 所以A 推不出B ，但B 可以推出A ， 故A 是B 的必要非充分条件． (3)充要条件直线0ax by c ++=与圆222x y r +=相切⇔ 圆(0，0)到直线的距离d r =，2222()r c a b r =⇔=+.所以A 是B 的充要条件.【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例2】 【变式2】设a ∈R ，则a >1是11a -<的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 根据幂函数1y x -=的性质，a >1时11a -<成立；但当0a <时11a -<也成立，设a ∈R ，则a >1是11a -<的充分不必要条件.【变式3】条件p:||1x >,条件q:2x <-,则p ⌝是q ⌝的( ). A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A.【解析】p:||1x >1x ⇔>或1x <-；:2q x <-， 显然“q p ⇒”成立⇔“⌝p ⇒⌝q ”成立， 所以⌝p 是⌝q 的充分但不必要条件. 类型三：命题真假的判断例4. 已知下列各组命题，写出满足条件的新的形式命题，并判断真假.（1）p ：2x =是方程2560x x -+=的根，q ：5x =是方程2560x x -+=的根； p 或q ，（2）p ：3π>， q ：π是有理数； p 且q ， （3）p ：若2x =，则x N ∈或0x <； 非p 【解析】（1）p 或q ：2x =或5x =是方程2560x x -+=的根，真命题； （2）p 且 q ：π是大于3的有理数，假命题； （3）非p ：若2x =，则x N ∉且0x ≥，假命题； 【总结升华】1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式； ②判断其中简单命题p 和q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“x N ∈或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：【变式1】若命题P ：x AB ∈，则命题“非P ”是（ ）A ．x A ∉且xB ∉ B ．x A ∉或x B ∉C ．x A B ∉D ．x A B ∈【答案】A ；【解析】∵因为命题p 可陈述为：x 属于集合A 或x 属于集合B ，∴非p ：x 即不属于集合A 且也不属于集合B ，即非p ：x A ∉且x B ∉，故选A.【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例3】【变式2】例4 若命题p ∨q 是真命题，¬p 是真命题，则（ ） （A ）p 和q 都是真命题 （B ）p 和q 都是假命题 （C ）p 是真命题，q 是假命题 （D ）p 是假命题，q 是真命题 【答案】D【变式3】满足“p 或q”为真，“非p”为真的是 （填序号）（1）p ：在∆ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；q: y ＝sinx 在第一象限是增函数（2）p ：,)a b a b R +≥∈；q: 不等式x x >的解集为(),0-∞（3）p:圆()221(2)1x y -+-=的面积被直线1x =平分；q ：椭圆22143x y +=的一条准线方程是4x =.【答案】(2)；【解析】由已知条件，知命题p 假、命题q 真. 选项(1)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(2)中命题p 假、命题q 真；选项(3)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故填(2)．类型四：全称命题与存在性命题真假的判断 例5. 判断下列命题的真假：（1）4,1x N x ∀∈≥；（2）300,1x Z x ∃∈<.【解析】（1）由于0N ∈，当0x =时，41x ≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.【总结升华】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式】写出下列命题的否定，并判断真假。