期末复习三角形中的边角关系、命题与证明类型一　三角形的有关概念1.已知AD ,AE 分别是△ABC 的中线和角平分线,则下列结论中错误的是( )A .BD=BCB .BC=2CD 12C .∠BAE=∠BACD .∠BAC=2∠CAD122.如图QM3-1所示:图QM3-1(1)在△ABC 中,BC 边上的高是 ;(2)在△AEC 中,AE 边上的高是 .3.如图QM3-2,回答下列问题:(1)图中有几个三角形?试写出这些三角形;(2)∠1是哪个三角形的内角?(3)以CE 为一条边的三角形有几个?是哪几个?图QM3-2类型二　三角形中三边关系的应用4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x 千米远,则x 的值应满足( )A .x=3B .x=3或x=7C .3<x<7D .3≤x ≤75.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )A .5B .6C .12D .166.△ABC 的边长均为整数,且最大边的长为7,那么这样的三角形共有 个. 7.已知三角形两边的长为4,8,则第三边的长可以是 (写出一个即可). 类型三　三角形内角和定理及其推论的应用8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2￿3￿4,则∠B的度数为( )A.120°B.80°C.60°D.40°9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是( )图QM3-3A.45°B.50°C.60°D.75°10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,求∠BPC的度数.图QM3-4类型四　命题与证明11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命题: .12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题.14.如图QM3-5,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD,若AE∥CF,∠BCF=60°.请你求出∠DCF的度数,并说明你的理由.　图QM3-5类型一　分类讨论思想的应用15.已知等腰三角形两边的长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为 .16.△ABC中,AB∶AC=3∶2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7两部分,求边AB,AC的长.17.现在要设计一种三角形有两种方案:①三角形三边长分别为2x,3x,10,其中x为正整数,且周长不超过30;②有两边长分别是7分米,3分米,第三边长y为奇数(单位:分米).分别讨论满足条件的三角形各有几个.类型二　解三角形问题常用辅助线18.如图QM3-6所示,已知a∥b,∠2=95°,∠3=150°,求∠1的度数.图QM3-619.如图QM3-7,若AB∥CD,求证:∠E+∠BAE-∠CDE=180°.图QM3-720.如图QM3-8,AD,BC相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠APB 的度数.图QM3-8类型三　创新问题展示21.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明:在△ABC中,延长BC到点D,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).小虎:在△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D(如图QM3-9),∴∠ADC=∠BDC=90°(直角的定义),则∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形的两锐角互余),∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质),即∠A+∠B+∠ACB=180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,并与同伴交流.图QM3-922.已知:如图QM3-10①,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的平分线相交于点O ,则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A.请说明理由;121212如图QM3-10②,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的两条三等分线分别对应交于点O 1,O 2,则∠BO 1C=×180°+∠A ,∠BO 2C=×180°+∠A.请说明理由;23131323根据以上阅读理解,猜想n 等分时[内部有(n-1)个交点],用含n 的代数式表示∠BO n-1C= (直接写出结果,不需说明理由).图QM3-10期末复习1.D2.(1)AB (2)CD3.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC ,△ABE ,△ACD ,△BCD ,△BCE ,△BCO ,△BDO ,△CEO.(2)∠1是△BCD 和△BDO 的内角.(3)以CE 为一条边的三角形有2个,分别是△BCE 和△CEO.4.D5.C6.167.答案不唯一,如5,6等8.C9.D10.解:∵∠A=40°,∠ACB=∠ABC ,∴∠ACB=∠ABC=70°.又∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP.∴∠2+∠BCP=∠2+∠ABP=∠ABC=70°,∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP )=110°.11.答案不唯一,如“对顶角相等”12.-3(答案不唯一)13.解:可能组成的正确命题有如下几种结果(前两个作为条件,后一个作为结论):①②④;②④①;①④②;②⑤③;③⑤②;②③⑤.14.解:∠DCF=60°.理由如下:如图,∵∠B=90°,∠BCF=60°,∴∠1=30°.∵AE ∥CF ,∴∠2=∠1=30°.∵AE 平分∠BAD ,∴∠3=∠2=30°.又∵∠D=90°,∴∠4=60°.∵AE ∥CF ,∴∠DCF=∠4=60°.15.16或1716.解:设AB=3x ,AC=2x ,则BC=2x+1,由题意得①3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=2,815则AB=6,AC=4;②3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=,715711则AB=,AC=.21111411答:边AB 的长为6,边AC 的长为4;或者边AB 的长为,边AC 的长为.2111141117.解:①2x+3x+10≤30,解得x ≤4,即x 可取1,2,3,4.当x 等于1时,三边长分别为2,3,10,构不成三角形;当x 等于2时,三边长分别为4,6,10,构不成三角形;当x 等于3时,三边长分别为6,9,10;当x 等于4时,三边长分别为8,12,10.故满足条件的三角形共有2个.②三角形的第三边长y 满足:7-3<y<3+7,即4<y<10.因为第三边长为奇数,因而第三边长可以为5,7或9.故满足条件的三角形共有3个.18.解:解法一:如图①,∠ABC=180°-∠2=85°.∵a ∥b ,∴∠CAB=180°-∠3=30°.∵∠1是△ABC 的外角,∴∠1=∠CAB+∠ABC=115°;解法二:如图②,过∠2的顶点A 作射线AB ∥a ,那么AB ∥b ,则∠CAB=180°-150°=30°,∴∠DAB=∠2-∠CAB=95°-30°=65°,∴∠1=180°-∠DAB=115°;解法三:如图③,连接AC ,∵a ∥b ,∴∠DAC+∠ECA=180°.而∠DAC=∠1-∠BAC ,∠ECA=∠3-∠ACB ,∴(∠1-∠BAC )+(∠3-∠ACB )=180°,即∠1+∠3-(∠BAC+∠ACB )=180°.在△ABC 中,∠BAC+∠ACB+∠2=180°,即∠BAC+∠ACB=180°-∠2,∴∠1+∠3-(180°-∠2)=180°,从而∠1=360°-∠2-∠3=360°-95°-150°=115°.19.证明:如图,连接AD.∵AB ∥CD ,∴∠BAD=∠CDA (两直线平行,内错角相等).又∵∠ADE+∠DAE+∠E=180°(三角形内角和定理),∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠CDA ,∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠ADE+∠CDE ,∴∠E+∠BAE=180°+∠CDE ,∴∠E+∠BAE-∠CDE=180°.20.解:由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠AEB=∠CAE+∠C=∠DBC+∠D ,从而2∠AEB=∠1+∠2+∠3+∠4+∠C+∠D ,即∠AEB=∠2+∠3+(∠C+∠D ).连接PE12并延长至点F ,易知∠AEF=∠2+∠APF ,∠BEF=∠3+∠BPF ,∴∠AEB=∠2+∠3+∠APB ,∴∠APB=(∠C+∠D )=30°.1221.解:两名同学的证法都不对.因为“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与“直角三角形的两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.证明:如图,在△ABC 中,过点A 作EF ∥BC ,∴∠EAB=∠B ,∠FAC=∠C (两直线平行,内错角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°.22.解:在题图①中,∵∠OBC=∠ABC ,∠OCB=∠ACB ,1212∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(∠ABC+∠ACB )=180°-(180°-∠A )=90°+121212∠A=×180°+∠A.1212在题图②中,∵∠O 1BC=∠ABC ,∠O 1CB=∠ACB ,1313∴∠BO 1C=180°-∠O 1BC-∠O 1CB=180°-(∠ABC+∠ACB )=180°-(180°-∠1313A )=120°+∠A=×180°+∠A.132313同理, ∵∠O 2BC=∠ABC ,∠O 2CB=∠ACB ,2323∴∠BO 2C=180°-∠O 2BC-∠O 2CB=180°-(∠ABC+∠ACB )=180°-(180°-∠2323A )=60°+∠A=×180°+∠A.231323通过前两个结果的证明,从而猜想:∠BO n-1C=×180°+∠A.1n n -1n。