u (k ) ?
保持Z变换法特点
D(s)稳定，D(z)稳定； D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
8.2.6模拟控制器的离散化方法
2. 阶跃相应不变法（加零阶保持器的Z变换法） • 特点
对于阶跃响应不变法，满足以下特点 D(z)能保持G(s)的阶跃响应采样值，但不能保证脉冲响应 采样值不变。 若G(s)稳定，则D(z)也稳定。 由于引入零阶保持器，频率混叠现象比脉冲响应不变法 减轻，但D(z)仍不能保持G(s)的频率特性。
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法
基本思想：模拟控制器若用微分方程的形式表示，其导数可用差分近似。 常用的一阶差分近似方法有：前（正）向差分和后（反）向差分。
后向差分
de(t ) e(kT ) e(kT T ) dt T
前向差分
de(t ) e(kT＋T ) e(kT ) dt T
双线性变换的频率关系
8.2.6模拟控制器的离散化方法
5. 零极点匹配法
基本思想：将G(s)的极点（s=-pi）和有限零点（s=-zi）都按 z=eTs的映射关系，一一对应地变换为D(z)的极点z=e-Tpi和零点 z=e-Tzi,其中T为采样周期。
K s ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) D ( s )＝ ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
3. 差分变换法 以积分控制器为例
令控制器：
D (s) U (s) 1 E (s) s
G (s) U (s) 1 du (t ) e(t ) E (s) s dt u (kT＋T ) u (kT ) e(kT ) T
u ( kT T ) u ( kT ) Te ( kT )
u (t ) u (kT ),e(t ) e(kT ),dt T
e ( jT )T , de (t ) e ( kT T ) e ( kT ),
j0
de ( t ) e ( kT T ) e ( kT ) dt T
8.2.6模拟控制器的离散化方法
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 以PID控制为例
连续PID
1 u t K P e t Ti

t
0
e t dt Td
de t dt
离散PID
T u kT K P e kT Ti
e jT
D( z ) G ( s)
s
2 z 1 T z 1
G ( s)
U (s) 1 E (s) s
梯形积分法
T u (kT ) u (kT T ) e(kT ) e( kT T ) 2
采用双线性变换方法就是利 用采样值与周期的梯形乘积 来近似积分的面积
8.2.6模拟控制器的离散化方法
单位脉冲响应
d (kT )=g (kT ) Ai e ai kT
i 1 n
离散传递函数
D (z ) d (kT )z g (kT )z -k
-k k 0 k 0


Ai e ai kT z -k
k 0 i 1 n
n
Ai z ai T i 1 z e
பைடு நூலகம்
2 2 1 Ts 1 Ts 2 2
双线性变换关系
2 z 1 s T z 1
和
z
连续与离散之间的相互转化关系
D( z ) G ( s)
s
2 z 1 T z 1
和 D( s) G ( z )
z
1Ts 1Ts
2 2
8.2.6模拟控制器的离散化方法
4. 双线性变换法(Tustin变换法) 以积分控制器为例
级数展开 取一阶近似作为s与 z之间的关系
z e sT 1 Ts z 1 Ts
1 2 2 T s 2! s z 1 T
或
利用前向差分变换，可实现从连续传递函数到离散脉冲传递函 数的近似转换。即等价于连续时间与采样值之间的近似
令： 则： e ( t ) dt
0 t k
8.2.6模拟控制器的离散化方法
2. 阶跃相应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
例8.6 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用阶跃响应不变法求 数字控制器D(z)。
【解】
D( s) D( z ) (1 z 1 ) Z s aT －1 a z 1 e （ ） (1 z 1 ) Z aT 1 s ( s a ) 1 e z
4. 双线性变换法(Tustin变换法) 特点
连续稳定，离散 一定稳定，若连续不稳定，离散 一定不 稳定 。 双线性变换是一对一映射，保证了离散频率特性不产生 频率混叠现象。 但产生了频率畸变，由于高频特性失真严重，主要用于 低通环节的离散化。 比较适合工程上应用的一种方法。
双线性变换的映射关系
第八章 计算机控制系统设计方法
模拟控制器离散化 主讲人：宗群 教授
计算机控制系统设计方法
本章结构 • 8.1 概述 • 8.2 计算机控制系统的连续化设计方法
• • • • • • 8.2.1 计算机控制系统的连续化设计思想 8.2.2 数字PID控制器的具体设计 8.2.3 计算机控制系统的连续化设计步骤总结 8.2.4 数字PID控制器的改进 8.2.5 数字PID控制器的参数整定 8.2.6 模拟控制器的离散化方法
Z变换
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 以积分控制器为例
U (s) 1 令控制器： D ( s ) E (s) s
D(s)
u ( kT ) u [( k 1)T ] Te ( kT )
U (s) 1 du (t ) e (t ) E (s) s dt u ( kT ) u[( k 1)T ] e ( kT ) T
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 • 后向差分变换
级数展开 取一阶近似作为s与 z之间的关系
z 1 e sT 1 Ts
1 2 2 T s 2!
z
1
1 Ts
或
1 z 1 s T
利用后向差分变换，可实现从连续传递函数到离散脉冲传递函 数的近似转换。即等价于连续时间与采样值之间的近似
令：
k
u (t ) u (kT ),e(t ) e(kT ),dt T
则： 0
t
e ( t ) dt
e ( jT )T , de (t ) e ( kT ) e ( kT T ),
j0
de ( t ) e ( kT ) e ( kT T ) dt T
【解】
g (t ) ae at
az akT k D( z ) Z d kT Z ae z z e aT k 0
思考
u (kT ) ?
8.2.6模拟控制器的离散化方法
1.脉冲响应不变法（冲激不变法或Z变换法） • 特点
例8.8 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用前向差分求数字控制器D(z)。 【解】
aT D( z ) z ( aT 1)
8.2.6模拟控制器的离散化方法
4. 双线性变换法(Tustin变换法)
基本思想：利用级数近似展开
级数展开
ze
sT

e e
sT
2 2
sT

1 Ts 1 Ts
j 0
k
Td e kT e kT T T
S变换
E s U s KP E s Td sE s Ti s
1 Td E z z E z TE z U z KP E z 1 T T z 1 i
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 特点
总之： 连续稳定，离散不一定稳定。 离散不能保持连续的脉冲响应和频率响应。
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法
例8.7 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用后向差分求数字控制器D(z)。 【解】
aT D( z ) 1 aT z 1
采用前向差分方法进行积分 就是利用采样值与周期的矩 形乘积来近似积分的面积
前向差分矩形积分法
8.2.6模拟控制器的离散化方法
3. 差分变换法 特点
将
s j
代入 z e sT 1 sT 得到S平面与Z平面映射关系：
(1)S左半平面部分映射到Z平面单位圆内，部分映射到单位圆外。 (2)S平面虚轴映射到Z平面上，除z=1点外，其余均在单位圆外。
• 连续系统
连续传递函数
G (s)
i 1 n
Ai s ai
单位脉冲响应
g (t ) Ai e ai t
i 1
n
ai kT g ( kT ) A e i 连续系统采样值 i 1
n
连续系统
8.2.6模拟控制器的离散化方法
1.脉冲响应不变法（冲激不变法或Z变换法） • 离散系统

离散系统

Z变换法
D ( z ) d ( kT ) z g ( kT ) z -k G ( z )
-k k 0 k 0
D ( z ) Z [G ( s )]
8.2.6模拟控制器的离散化方法
1.脉冲响应不变法（冲激不变法或Z变换法）