11
3）等加速输入(q=3)
1 2 r (t ) t 2 T 2 z 1 (1 z 1 ) R( z ) 2(1 z 1 )3
y(t)
25 2 T 2
16 2 T 2 3 2 T 2
9 2 T 2
t
e ( z ) (1 z 1 )3 ( z ) 3 z 1 3 z 2 z 3
准确性：要求E(z)为有限项
快速性：要求E(z)项数最少
z 1
据此寻找Φe(z)
z 1
D(z)
又：e( ) lim(1 z 1 ) E ( z ) lim(1 z 1 ) R( z ) e ( z ) 1 设：r ( t ) t q 1 (q 1)! B( z ) 则：R( z ) (1 z 1 )q
D( z ) 1 Φe ( z ) 1 Φ( z ) G ( z ) 1 Φ( z ) G( z )Φe ( z ) ()
E(z) 1 其中： Φe ( z ) 1 Φ( z ) R( z ) 1 G ( z ) D( z ) 数字控制器离散化设计步骤：
r ( t ) 1( t ) 1 R( z ) 1 z 1 E ( z ) e ( z ) R( z )
e ( z )
1 z
1
根据（△）式：
Φe(z)=1-z-1
∴
E(z)=1
即：E( z ) e(0) e(1)z 1 e(2)z 2
其中：e(0)=1,e(1)=e(2)=…=0,说明一拍结束瞬态过程。
＊ y(k) ＊ y( k )
r(t)
＊
＊
＊
＊
r(t)
＊
＊
＊
＊
1 2 3 4 5 k (a) 有纹波最少拍系统（二拍）
1 2 3 4 5 k (b) 无纹波最少拍系统（二拍）
最少拍系统在阶跃输入下的输出响应
有纹波最少拍系统：各采样瞬间 en=0； 无纹波最少拍系统：过渡过程结束后e(∞)=0。
5
③ 快速性：ts 最短，最少个节拍（采样周期）； ④ 物理可实现性：
y(k)
0
T u( k )
2T
3T
4T
t
0
T
2T
3T
4T
t
等速输入下的输出响应
uh(t)
0
T
2T 3 T 4T 5T
t
0
T
2T 3T 4T 5T
18
t
等速输入时的u(k)和uh(t)的波形
三、最少拍有纹波控制器的设计 当G(z)不稳定或带有纯滞后环节时，确定e(z)、 (z)需考虑附加条件（仍不考虑纹波问题）。
1
B(z)为不包含(1-z-1)因子 的z-1多项式；
7
B( z ) e( ) lim(1 z ) e ( z ) 1 q z 1 (1 z )
∴
q -1 要使e(∞)=0，Φe(z)中必须至少包含(1-z ) 因子；
即 Φe(z)=1-Φ(z)=(1 -
p -1 z ) F(z)
-
e*(t)
u*(t)
1－e-Ts s
G ( s)
计算机控制系统框图 (a) 实际框图 (b) 变换后的框图
2
u*(t) 离散控制信号 保持器 模拟信号 1 e Ts G0 ( s ) 保持器＋被控对象 广义控制对象 G ( s ) s 为分析方便 (a) (b) A/D, D/A省略
1 e Ts 由图(b)得： G ( z ) Z G0 ( s ) s D( z )G ( z ) Φ( z ) 1 D( z )G ( z )
9
求 y(z)：Φ(z)= 1-Φe(z)= z-1
z 1 1 2 Y ( z ) R( z ) ( z ) z z 1 1 z
1
即 y(0) 0, y(1) y(2) y(3)
y(t)
1
t
0
T
2T
3T
4T
阶跃输入时的输出响应
10
2）等速输入(q=2)
＊
＊
t
T 2T 3T 4T (c) 等加速输入
Hale Waihona Puke r(t)=t时的最少拍系统对不同输入时的输出响应
一般地，为某一典型输入所设计的最少拍系统： 用于阶次较低的输入函数时：超调↑， ts↑； 用于阶次较高的输入函数时：有静差。 14
5、设计举例
例1：已知系统如图，G0(s)=1/s ； 设 T=2S, (1) r(t)=1(t), (2) r(t)=t； 求：最少拍控制器D(z), y(k)、e(k)、u(k)、uh(t)
12
各种典型输入下的最少拍系统 输入量( t )
1( t ) t
最快响应时的 Φe(z)
1 z 1 (1 z 1 )2
Φ( z)
z 1 2 z 1 z 2
消除偏差 所需时间
T 2T 3T qT
1 2 t (1 z 1 )3 3 z 1 3 z 2 z 3 2 1 t q 1 (1 z 1 )q 1 (1 z 1 )q (q 1)!
第二节
数字控制器的离散化设计技术
数字控制器的连续化设计，适用T<<Tg，控制质量 要求不高。当T≈ Tg，控制要求高时，用采样控制理论 直接设计数字控制器。 一、 数字控制器的离散化设计步骤
φ ( s) r(t)
+
－
e(t)
D ( s)
u(t)
G ( s)
y(t)
连续控制系统框图
其中D(s)：串联校正元件，改变零极点配置，以获 得要求的性能指标。
r( k ) y(k)
比例调节
0
T
2T
3T
4T
t
0
T
2T
3T
4T
t
16
阶跃输入下的输出响应
分析输出是否有纹波：
1 U ( z ) E ( z ) D( z ) T 1 u( k ) , 0, 0 T
过渡过程结束后，u(k)稳定，∴ 无纹波。
u( k ) uh(t)
1/T 0 T 2T 3T 4T
1
DDC计算机 r(t)
G ( s) u(t) 1－e-Ts s 零阶保持器 G 0 ( s) 对象 y(t) (a) 实际框图
+ －
e*(t)
D ( z)
数字控制器
Φ ( z)
G ( z)
R(z) r(t)
Y ( z) G 0 ( s) y(t) (b) 变换后的框图
+
E(z)
U ( z) D ( z)
13
4、最少拍系统对输入函数的适应性 q -1 寻找Φe(z)抵销R(z)分母中(1-z ) 因子，对不同输入 函数适应性较差。
y(k)
＊ y(k)
＊ ＊ ＊
t r(t)=1(t)
y(k)
y(k)
＊ ＊
0
＊y(k) ＊
t 0
＊y(k) ＊
0
T 2T 3T 4T (a) 阶跃输入
T 2T 3T 4T (b) 等速输入
G(z) 性能要求 约束条件
[Φe(z)] Φ( z) 关键
() 式
D(z)
控制算法程序
3
D( z )的一般形式为： U (z) D( z ) E(z)
m i i b z i i 0 m
1 ai z i
i 0 n
n
, (n m )
则 U ( z ) bi z E ( z ) ai z iU ( z )
分子的最低幂次应大于等于分母的最低幂次；
分子的最高幂次应小于等于分母的最高幂次 (m≤n)。 2、最少拍控制器的设计 先不考虑纹波问题，并设G(z)满足： ① 稳定性条件； ② 无滞后，即无e-τs因子(无z-1因子)。 因此G(z)对所设计的系统无附加条件。
6
E ( z ) R( z ) Y ( z ) e ( z) 1 (z) R( z ) R( z ) E ( z ) R( z ) e ( z ) R( z ) 1 ( z ) e (0) e(1) z 1 e(2) z 2
Φ ( z) G ( z)
Y(z)
G 0 ( s) y(t)
R(z) r(t)
+
E(z)
U ( z) D ( z)
-
1－e-Ts s
解： (1) r ( t ) 1( t ) R( z )
1 1 z 1
1 e Ts 1 1 e Ts G( s) s s s2 1 e Ts 1 G( z ) Z (1 z )Z 2 s
b0 b1 z 1 b2 z 2 D( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 bm z m bm 1 z m 1 D( z ) an z n an1 z n1 bm z m an z n b1 z b0 a1 z 1
T 2T 3T 4T 5T
等加速输入时的输出响应
1 2 1 1 2 2 E ( z ) R( z ) e ( z ) T z T z 2 2 3 2 2 9 2 3 16 2 4 25 2 5 Y ( z ) R( z ) ( z ) T z T z T z T z 2 2 2 2
其中：p≥q F ( z ) 1 f1 z 1 f2 z 2 fn z n 要“最快”，即E(z)项数最少，则应取： p=q，F(z)=1
∴ Φe(z)的最简形式为： Φe(z)= (1 - z-1) ……(△)