例2-10
20( s 1) D( s) ( s 5)( s 10) 已知
教材p.19
，用零极点匹配法求数字 控制器D(z)，设采样频率f=10Hz。 解：（1）采样周期 T 1 f 0.1s S域有两个极点：s=-5,s=-10, 1个零点:s=1;e=2.718. aT 根据 s a z e 变换，
s 5 z e5T z 0.607 s 10 z e10T z 0.368 s 1 z eT z 0.905
（2）D(s)中，n=2,m=1所以设在S平面上有一个无 穷远处的零点，在D(z)分子中增加（z+1）匹配。
K z ( z 0.905)( z 1) D( z ) ( z 0.607)( z 0.368)
5.阶跃响应不变法（带零阶保持器的Z变换法）
离散后的数字控制器阶跃响应（先离散后，后求响应）
D( z ) Z (1) D( z )
1 1 z 1
与模拟控制器的阶跃响应（先求响应，后离散化）一样
1 Z[ D(s) L(1)] Z[ D(s) ] s
D( z ) 1 1 z 1
按模拟设计法得到数字控制器，改进动态品 质的方法： （1）适当提高连续系统设计的稳定裕度要求 （2）选取较高的采样频率 （3）选用性能较好的离散化方法。
2.3 数字控制器的离散化设计
离散化设计是从被控对象的实际出发，根据 采样理论和离散化方法及系统的性能指标， 直接设计数字控制器。 离散化设计方法是以Z变换为理论和工具进 行数字控制器的设计的，所以也称Z域设计 法。 优点：高精确度
4.冲激响应不变法(Z变换法)
D(s) T D(z)
离散后的数字)一样
冲激不变法的特点： （1）D(s)与D(z)两者的脉冲响应在采样点取 值相等。 （2） D(s)稳定，D(z)稳定 （3） D(s)与D(z)的频谱不同。
例2-11
s 1 已知连续环节 D( s) ( s 3)( s 2)
双线性变换稳定区域
Ts Ts 1 1 2 z 1 2 2 ,z s ,z 1 Ts Ts T z 1 1 1 2 2
s平面虚轴经过双线性变换，在Z平面为单位圆。 s平面左半稳定平面映射到Z平面为单位圆内。 可见，双线性变换可以保证s平面稳定的系统， 在Z平面仍然稳定，是性能较好的变换方法。
1 2
，0），半径为
1 2
的圆内区域。 因而，后向差分变换后，原来s平面稳定的系统， 在Z平面一定能保持稳定，但极点分布区域变小了。
前向差分变换
z 1 s , z 1 Ts T
可见，s平面虚轴经过前向差分变换，在Z平面为通过+1的垂直线， s平面左半稳定平面映射到Z平面为通过+1的垂直线左边区域，因而， 前向差分变换后，原来s平面稳定的系统，在Z平面不一定能保持稳定。
或
D( s )
s
D( z )
z 1
（高通）
零极点匹配法特点： Ts （1）匹配规则：根据 z e 变换有：
s a z e aT , s z 1, s a jb z e ( a jb )T , ( s a)2 b2 z 2 2 ze aT cos bT e 2 aT
3.零极点匹配法
时间域的采样操作：
z eTs
z -e =0
Ts
S域的零极点 Z域 将D(s)进行因式分解，设分解后的D(s)为：
K s ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) D( s ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
根轨迹/Bode图/Nichols图
D(s)
误差
控制量 控制器 对象
（2）加入零阶保持器，选择适当的离散化方法
D(S)
离散化方法
D(z)
（3）分析图2-12所示离散控制系统的动态特性，
控制系统的要求 • 稳（稳定） • 快（快速） • 准（准确）
(a) (b) (c)
（4）在计算机上用数字算法实现D(z)
用冲激不变法设计数字控制器D(z)。 解： s 1 2 1
D( s ) ( s 3)( s 2) s3 s2
则数字控制器为：
s 1 2 1 2z z D( z ) Z [ D( s)] Z [ ] Z[ ] 3 T ( s 3)( s 2) s3 s2 ze z e 2T
=
1 Z[ D(s) ] s
D( z) (1 z
1
1 ) Z[ D(s) ] s
例2-12
已知连续数字控制器为 D(s) Kp(1 1 )
s
用阶跃响应不变法设计数字控制器D(z)。 解：
1 1 1 D( z ) (1 z 1 ) Z [ D( s) ] (1 z 1 ) Z [ Kp(1 ) ] s s s 1 1 1 Kp(1 z ) Z ( 2 ) s s Kp(1 z ) Z (
其等效的D(z)是：
K z ( z e )( z e ) ( z e )( z 1) D( z ) ( z e p1T )( z e p2T ) ( z e pnT )
z1T
z2T
zmT
nm
nm ( z 1) 项：通常，n>m,可看成S域在与穷 远处有n-m个零点 Z域中Z=-1处。 D(z)中，增益 K Z 可用D(s) 和 D(z)在某个频率 下的增益相等来确定。例如，设S=0来确定。 则 D( s ) s 0 D ( z ) z 1 （低通）
（3）求增益 K z ，按低通匹配：
20 D( s ) s 0 D( z ) 50 K z 2 0.095 z 1 0.393 0.632
求出 Kz 0.524 代入D(z)得：
0.524( z 0.905)( z 1) D( z ) ( z 0.607)( z 0.368)
教材p.17
D(s)稳定，则D(z)稳定
前向差分：
du (t ) u (k 1) u (k ) dt T 左边求L变换 sU ( s ) 右边求Z变换 z 1 U ( z) T 对比两边的系数， z 1 s 时，可以作为一个对应 关系，叫作前向差分法 ： T D( z ) D( s )
du (t ) u (k ) u (k 1) dt T 左边求L变换 sU ( s ) 右边求Z变换 (1 z 1 ) U ( z) T 对比两边的系数， (1 z 1 ) s 时，可以作为一个对应 关系，叫作后向差分法 ： T D( z ) D( s)
(1 z 1 ) s T
2.2 模拟化设计
模拟化设计方法 根据被控制对象的传递函数和系统的性能指 标，先设计一个模拟校正装置 D(s)，使系统 的动态性能到达预定要求； 再将模拟校正装置的数学模型离散化，构成 由计算机实现的数字控制器D(z) ，并使该 控制器的脉冲响应、频率响应和模拟校正装 置等效。
模拟化设计步骤： （1）G(s)
（2）D(s)稳定 ， D(z)必稳定 （3）n>m时，用 ( z 1)nm 来匹配D(s)中的n-m个 无穷零点。 （4）当D(s)的零极点已知时，此方法简便。
例2-9
教材p.19
Ks 已知D ( s ) s a 用零极点匹配法求数字控制器D(z)。
解：D(s)中，n=1,m=0,所以在S平面上有一个无穷 远的零点，在D(z)中用(z+1)匹配：
各种变换后的稳定区域
后向差分
1 z 1 1 1 1 1 1 (1 Ts) s ,z T 1 Ts 2 1 Ts 2 2 2(1 Ts) z 1 1 1 Ts 1 2 2 1 Ts 2
可见，s平面虚轴经过后向差分变换， 1 的圆 在Z平面为圆心在（ 2 ，0），半径为 1 2 s平面左半稳定平面映射到Z平面为圆心在（
例2-8
s 1 用双线性变换法D(z)，已知： D( s ) s( s 2) 设采样周期T=1s。 1 2 1 z 解：将 s 代入D(s)得到： T 1 z 1
2(1 z 1 ) 2 2 z 1 1 z 1 1 1 1 1 1 (1 z )(3 z ) 1 z 1 z D( z ) 1 1 1 2 2 2(1 z ) 2(1 z ) 4(1 z ) 4(1 z ) 8(1 z 1 ) [ 2] 1 1 1 1 z 1 z 1 z
s z -1 T
例题2-12 模拟控制器
s D(s) sa
用后向差分、前向差分法，变成数字控制器。
s 后向差分： D( z ) sa
(1 z 1 ) s T

1 z 1 1 aT z 1
s D( s ) 前向差分： sa
s
z -1 T
z 1 1 z 1 z (aT 1) 1 (aT 1) z 1
1
1 1 z
1

Tz 1
(1 z )
1 2
)
Kp[ (T ) z 1 ]
[1 z 1 ]
几种离散方法的比较
（1）采样频率高时：除冲激不变法以外，其余离散 化后与原系统性能很接近 （2）除前向差分外，其余方法离散前后稳定性不变 （3）双线变换性能在低频下能得到较好的性能指标。 （4）若系统的增益为主要指标，采用零极点匹配法 法较好。
得到：
即：
2 z 1 2 z ,s T z 1 1 Ts 2
1 Ts
D( z ) D( s )
2 1 z 1 s T 1 z 1