高一数学必修2第二章教案(完整版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2（必修二）高中数学第二章教案32.1.1 平面二、教学重点、难点重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.观察并思考以下问题：1.长方体由哪些基本元素构成? 答：点、线、面.2.观察长方体的面,说说它的特点？答：是平的.指出：长方体的面给我们以平面的印象；生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象.（二）探究新知1.平面含义指出：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.2.平面的画法及表示①平面的画法：和学生一起,老师边说边画,学生跟着画.在立体几何中，常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四45，且横边长画成邻边长的两倍；画两个平面相交时，当一个平边形的锐角画成0面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画.②平面的表示方法平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.3.点与平面的关系及其表示方法指出：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.45点A 在平面α内，记作：A α∈ 点B 在平面α外，记作：B α∉ 想一想：点和平面的位置关系有几种? 4.平面的基本性质思考：如果直线与平面有一个公共点P ，直线是否在平面内?如果直线与平面有两个公共点呢? 要让学生充分发表自己的见解.观察理解：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上. 得出结论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析） 符号表示为A lB l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α 使A ∈α、B ∈α、C ∈α 公理2作用：确定一个平面的依据. 补充3个推论：推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面.教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义. 引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系二、教学重、难点：1．重点: （1）空间中两条直线的位置关系的判定；（2）理解并掌握公理4.2．难点: 理解异面直线的概念、画法.四、教学过程：（一）复习引入1. 前面我们已学习了平面的概念及其基本性质.回顾一下，怎样确定一个平面呢？（公理3及其三个推论）2 .在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空间中呢？（二）新课推进1.空间中两条直线的位置关系以学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题共面直线相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.异面直线（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线.67（2）判断：下列各图中直线l 与m 是异面直线吗?让学生直观判断异面直线，既加深了对概念的理解，又可引出异面直线的画法，还为下面的辨析作好铺垫.（3）画法：用一个或两个平面衬托（4）辨析①空间中没有公共点的两条直线是异面直线. ②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线. ③不同在某一平面内的两条直线是异面直线. ④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线. ⑤既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 . （5）结合实例小结判断异面直线的关键① 例1：在正方体1111ABCD A B C D -中,哪些棱所在的直线与1BA 成异面直线?αlmαlmlmαβl mαβαlmlmαβαlmlαβm lmαβlmαβ8GBDCAEFH②合作探究如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB 、CD 、EF 、GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？让学生根据异面直线的定义判断在几何体上的具有异面直线位置关系的两条直线.培养学生的空间想象能力,加深对异面直线概念的理解.③判断异面直线的关键：既不相交，又不平行. 3．公理4的教学⑴思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。
空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律? (2)观察：如图2.1.2-2,长方体1111ABCD A B C D -中, AA 1∥1BB , AA 1∥1DD ，那么1BB 与1DD 平行吗? 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线//////a b a c b c ⎫⇒⎬⎭注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用；公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.⑶ 讲解例2，让学生掌握公理4的运用例2：如图在空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形.考虑到学生第一次接触空间四边形，先结自制模型 简单介绍什么叫空间四边形，再分析如何证明）分析：如何判定一个四边形是平行四边形？ 怎样证明EH ∥ FG ？证明关键是什么？ABDC GEHFDA D 1C 1B 1A 1C B9提问：有没有其它证明方法呢？（EF ∥HG,且EF=HG ） 变式练习：(1)在例2中, 如果再加上条件AC BD =,那么四边形EFGH 是什么图形?(2) 把条件改为: E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CG CFCD CB=则四边形EFGH 是什么图形?为什么? （四）小结（1）空间中两直线有何位置关系？（平行、相交、异面）（2）怎样判断两直线是异面直线？（判断关键：既不平行又不相交） （3）什么是平行公理?它的作用是什么?（平行同一条直线的两条直线互相平行, 作用：判断两直线平行它将空间平行问题转化为平面内的平行问题） （五）作业(1) P56习题2.1A 组第6题(2) 在正方体1111ABCD A B C D -中,与对角线1DB 成异面直线的棱共有几条?§2.1.3 空间中直线与平面§2.1.4 平面与平面之间的位置关系二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、教学设计空间中直线与平面有多少种位置关系？（二）研探新知1．引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α例4: 加深了学生对这几种位置关系的理解.2．引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：10（1）两个平面平行 —— 没有公共点（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.2.2.1直线与平面平行的判定二、教学的重点与难点：教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。
教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。
三、教学过程设计： （二）温故知新直线与平面平行的定义是什么？如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线与这个平面平行. 这里所说的直线是向两方无限延伸的，平面是向四周无限延展的. 那么，直线与平面的位置关系有几种？ 直线与平面的位置关系有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点；α βα βL③直线与平面平行——没有公共点.问：我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外。
今后凡谈到直线在平面外，则有两种情况：直线与平面相交，直线与平面平行。
直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？ （三）讲解新课直线a 在平面α外，是不是能够断定//a α呢？ 直线与平面平行将如何判定呢？直线无限延伸，平面无限延展，如何保证直线与平面有没有公共点呢？请同学们将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB 所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如图：直线a 与平面平行吗？若α内有直线b 与a 平行，那么α与a 的位置关系如何？是否可以保证直线a 与平面α平行？ 判定定理告诉我们直线与平面平行应具备几个条件？ 符号语言表示：////a b a a b αβα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭这个定理可以简述为：“线线平行，则线面平行”，不过要注意，前面的线线有什么区别？例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.已知:如图,空间四边形ABCD 中, E,F 分别是AB,AD 的中点. 求证:EF//平面BCD.证明:连接BD ，则AE=EB,AF=FB 所以 EF//BD因为 EF ⊄平面BCD,BD ⊂平面BCDαa由直线与平面平行的判定定理得 EF//平面BCD2.2.2 平面与平面平行的判定二、教学重、难点：1．重点：平面和平面平行的判定定理的探索过程及应用。
2．难点：平面和平面平行的判定定理的探究发现及其应用。
三、教学过程：（一）创设情景1.你知道建筑师是如何检验屋顶平面是与水平面平行的吗？2.三角板的一条边所在直线与地面平行，这个三角板所在平面与地面平行吗？三角板的两条边所在直线与地面平行，情况又如何呢？（二）温故知新线面平行的判定方法有几种？（1）定义法：若直线与平面无公共点，则直线与平面平行.（2）面面平行定义的推论：若两平面平行，则其中一个平面内的直线与另一平面平行．（3）判定定理：证明面外直线与面内直线平行． （三）探求新知平面与平面平行的定义是什么？如何判断两平面平行？如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面关系如何？为什么？若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面会平行吗？ 由此将判定两个平面平行的问题可以转化为线面平行的问题来解决，可是最少需要几条线与面平行呢？平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？请举例说明.如右图，借助长方体模型，我们可以看出，平面''A ADD 中直线'//,A A ''平面DCC D ''A ADD ''但平面与平面DCC D 相交.若平面α内有两条直线a 、b 都平行于平面β，能保证α∥β吗？如上图，借助长方体模型，在平面''A ADD 内，有一条与'A A 平行的直线EF ，显然'A A 与EF 都平行与平面''DCC D ，但这两条平行直线所在的平面''A ADD 与平面''DCC D 相交.如下图，平面β内有两条相交直线与平面α平行，情况如何？一般地，我们有如下的判定平面平行的定理：如果一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 以上是两个平面平行的文字语言表述，你能写出定理的符号语言吗？若,,,//a b a b P ββαααβ⊂⊂⋂=，且a//,b//则. 利用判定定理证明两个平面平行，必须具备哪些条件？ （1）由两条直线平行与另一个平面，（2）这两条直线必须相交. 从转化的角度认识该定理就是：线线相交，线面相交⇒面面平行. （四）拓展应用例1. 已知正方体ABCD-1111A B C D ,求证：平面11AB D //平面1C BD . 证明：因为ABCD-1111A B C D 为正方体， 所以11,AB A B = 1111//D C A B 1111D C A B =， 又11//AB A B ，11,AB A B =所以11//D C AB ，11D C AB =，所以11D C BA 为平行四边形.所以11,C B C BD ⊂平面 11//D A C B . 又11D A C BD ⊄平面,11C B C BD ⊂平面,由直线与平面的判定定理得11//D A C BD 平面，同理111//D B C BD 平面，又1111D A D B D ⋂=，所以平面111//AB D C BD 平面.拓展1.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，M 、N 分别为A 1A 、CC 1的中点 .求证：平面NBD ∥平面MB 1D 1.拓展2.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 、R 分别为A 1A 、AB 、AD 的中点 .求证：平面PQR ∥平面CB 1D 1.例2.点P 是△ABC 所在平面外一点，M 、N 、G 分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心. 求证:平面MNG//平面ABC分析：连结PM,PN,PG 则PM:PD=PN:PE=PG:PF 故MN ∥DE,MG ∥EF2.2.3平面与平面平行的判定二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：掌握两个平面平行的性质及其应用；掌握两平行平面间的距离的概念，会求两个平行平面间的距离．2．教学难点：掌握两个平行平面的性质及其应用． 三 、教学设计（一）复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定 两个平面的位置关系有哪几种？ 两个平面平行的判定方法有哪几种？ （二）两个平面平行的性质根据两个平面平行直线和平面平行的定义可知：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．因此，在解决实际问题时，常常把面面平行转化为线面平行或线线平行．这个结论可作为两个平面平行的性质1：//,a αβα⊂ 则//a β.1．两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．已知：α∥β，γ∩α=a ，γ∩β=b ． 求证：a ∥b ．直接证法: ∵α∥β，∴α与β没有公共点．又,a b γγ⊂⊂Q ∴a ∥b这个结论可作为性质2：若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b ． 2．例题例2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．已知：α∥β，,l l αα⊥⋂＝A ．求证：l β⊥．证明直线与平面垂直的方法有几种？方法一，证明直线与平面内的任何一条直线都垂直；方法二，证明直线与平面内两条相交的直线垂直；方法三，证明直线的一条平行线与平面垂直．我们可以试着用第一种方法来证明．证明：在平面β内任取一条直线b ，平面γ是经过点A 与直线b 的平面，设γ∩α＝a ．因为直线b 是平面β内的任意一条直线，所以l ⊥β．这个例题的结论可与定理“一个平面垂直于两条平行直线中的一条直线，它也垂直于另一条直线．”联系起来记忆，它也可作为性质3：若α∥β，l ⊥α，则l ⊥β．3．两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离与两个平行平面α，β同时垂直的直线L 叫做这两个平行平面α，β的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段．如图α∥β．如果AA ＇、BB ＇都是它们的公垂线段，那么AA ＇∥BB ＇，根据两个平面平行的性质定理有A ＇B ＇∥AB ，所以四边形ABB ＇A ＇是平行四边形，AA ＇＝BB ＇．由此，我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的长度具有唯一性．与两平行线间的距离定义相类似，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．两个平行平面间距离实质上也是点到面或两点间的距离，求值最后也是通过解三角形求得练习.夹在两个平行平面间的平行线段相等．已知：如图1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB＝CD．证明：∵AB∥CD，∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC＇和BD．∵α∥β，∴BD∥AC．∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．这个练习的结论可作为性质4：夹在两个平行平面间的平行线段相等．2.2.4平面与平面平行的性质二、教学重、难点：1．重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用.2．难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用.三、教学过程：（一）温故知新1. 两个平面的位置关系？2. 面面平行的判定方法：（1）定义法：若两平面无公共点，则两平面平行.（2）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（二）创设情景两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？ 通过分析可以发现，若平面α和平面β平行，则两面无公共点，那么就意味着平面α内任一直线a 和平面β也无公共点，即直线a 和平面β平行.用语言表述就是：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行与另一个平面.用式子可表示为：//,//a a ββαα⊂⇒。