专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。

而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

确定抽象函数单调性解函数不等式例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【变式演练1】【辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中】已知函数22()1x f x x =+，则不等式()()2log 13f x f -≤的解集为（ ）A ．[)4,+∞ B ．1,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦【变式演练2】【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科】已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值； （2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)()02f f x +-≤．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x yf x f y f x y++=++；①当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 是单调递减函数； （3）21111()()()()1119553f f f f n n +++>++，其中*n N ∈． 【高考再现】1.【2020年高考浙江卷9】已知,a b ∈R 且0ab ≠，若()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥上恒成立，则 （ ）A ．0a <B ．0a >C ．0b <D ．0b >2.【2020年高考北京卷6】已知函数12)(--=x x f x，则不等式()0f x >的解集是 （ ）A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()0,1 D ．()(),01,-∞+∞3.【2020年高考山东卷8】若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是 （ ）A ．[][)1,13,-+∞ B ．[][]3,10,1-- C ．[][)1,01,-+∞ D ．[][]1,01,3-4.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（）A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，5.【2018年普通高等学校招生（江西卷）】已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )．A ． af (b )≤bf (a )B ． bf (a )≤af (b )C ． af (a )≤f (b )D ． bf (b )≤f (a ) 6. 【2014辽宁理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；①对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k的最小值为（ ）A ．12 B ．14C ．12πD ．187. 【2018年普通高校招生全国卷 一】已知函数()f x ，任取两个不相等的正数1x ， 2x ，总有()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，对于任意的0x >，总有()ln 1f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，若()()()2'g x f x f x m m =+-+有两个不同的零点，则正实数m 的取值范围为__________． 【反馈练习】1．【山西省运城市2021届高三（上）期中数学（理科）】已知函数()5332f x x x x =+++，若()()24f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞2.【甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2020-2021学年高三数学第一学期期中】函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞ D ．[]0,43.【黑龙江省哈尔滨六中2020-2021学年高三（上）开学数学（理科）】奇函数()f x 满足(2)0f =，且()f x 在(0,)+∞上单调递减，则210()()x f x f x -<--的解集为（ ） A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)+∞4.【河南省洛阳市2020-2021学年第一学期高三第一次统一考试】已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 5.【河南省十所名校2020-2021学年高三上学期第二次考试数学（理）】设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()220f x f x x +-+=，当0x >时，()21f x x '+<，若()()21f m f m m ≥-+，则实数m 的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．26.【河南省郑州、商丘市名师联盟2020-2021学年高三上学期12月教学质量检测】已知()f x 是定义在R 上的减函数，对任意x 、y ∈R ，()()()f x y f x f y +=恒成立，若()53f -=，则()327f x -<的解集为（ ） A ．(),15-∞B ．(),18-∞C ．()15,+∞D ．()18,+∞7.【江苏省常州市教育学会2020-2021学年高三上学期学业水平监测】已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.8．【百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）理科】数已知函数()()()ln 11,011ln 1,0x x e x x f x x x e⎧++-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若()()2120x xf e f e -+≤，则实数x 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)ln 2,-+∞D ．(],ln 2-∞-9.【天津市八校2020-2021学年高三上学期期中联考数学】设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+（a 为常数），则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞10．【海南省海南中学2021届高三第五次月考】设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，对任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（ ）A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(2,0)(0,2)-C ．(,4)(0,4)-∞-⋃D ．(,2)(2,)-∞-+∞。