不等式与函数性质的综合应用数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数f(x)在(a,b)连续，x 1,x 2,x 3∈(a,b)，且x 1+x 2+x 3为定值，求或证明f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最值。

本文将举例给出解决此类问题的方法。

首先我们建立以下三个定理。

定理1 若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，给定的对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立。

定理1的几何意义为：设M(x 0，y 0)为函数f(x)图像上任意一点，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)上方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)下方。

定理2 对任意),(),(b a n m ⊆，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≤成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≥成立。

定理2的几何意义为：若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的上方。

定理3 函数f(x)在(a,b)上连续，给定的x 0∈(a,b)，若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≥2f(x 0)成立；若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≤2f(x 0)成立。

定理3容易推广到n 个变量的情况。

利用函数极限的性质与导数的定义，凸函数的定义不难证明这三个定理，本文从略。

定理1，2实质是“化曲为直”，利用切线或弦估计函数f(x)的情况。

例1 已知1,,,a b c a b c R +++=∈，求证：22222264(1)(1)(1)27a b c -+-+-≤证：记22()(1),(01)f x x x =-<<，则3132()44,()327f x x x f ''=-=-， 222232164(1)()27(1)32(1)27381x x x x -≤--+⇔-≤-2(31)(1)(35)0x x x ⇔--+≥而01x <<，故上式恒成立。

从而()()()f a f b f c ++≤326464(1)272727a b c -++-+=，等号再a=b=c 是成立。

例2 已知x ，y ，z 是正实数，且x+y+z=1，求证：0131313222222≥+-++-++-zzz y y y x x x (2003湖南省高中数学竞赛试题)证：记2213)(x x x x f +-=（0<x<1），则f(x)的导函数为=)(/x f 222)1(16+-+x x x ，当31=x 时，=)31(/f 109，所以f(x)在31=x 处的切线方程为：)31(109-=x y ，下证：当0<x<1时，不等式≥+-2213xx x 103109-x 事实上，当0<x<1时，0)3()13(2≤--x x 成立，故)39)(1()3(1022-+≥-x x x x 成立，所以当0<x<1时，不等式≥+-2213x x x 103109-x 成立。

由定理3知：0109)(109131313222222=-++≥+-++-++-z y x z z z y y y x x x ，当且仅当z y x ==时取等号。

说明：(1)对给定的x 0，若))(()()()(000x x x f x f x f -'≤≥-在(a,b)上成立，f(x)在(a,b)上并不一定下凸(或上凸)；(2)x 0的选择可视原不等式成立的条件而定。

例3 已知a ，b ，c>0，证明：)222(29ab cc a b c b a a b c c a b c b a +++++-≥+++++ 证：不仿a+b+c=3，a,b,c,>0，则原不等式等价于29323232333≥-+-+-+-+-+-c c b b a a c c b b a a . 记x x x x x f -+-=323)(（0<x<3）在x=1处的切线为x y 23=，下证：当0<x<3时， 23323xx x x x ≥-+-. ① 事实上，当373≥>x 时,032>-x x ,0)3(2)37(323≤--=--x x x x x x ,故23323x x x x x ≥-+-， 当370<<x 时，0)83()1(233232≤--⇔≥-+-x x x x x x x ,从而当0<x<3时，不等式①成立，由定理3知：29)(23323232333=++≥-+-+-+-+-+-c b a c c b b a a c c b b a a ，等号在a=b=c=1时取到。

说明：将本题的结论稍作变形，即可得出另一优美的不等式。

6)21()21()21(222≥++++++++b a c a c b c b a （a ，b ，c +∈R ），此不等式与本例的不等式均出自《中等数学》数学奥林匹克问题栏目。

例4 正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=1.求:222111ccb b a a -+-+-的最小值.（加拿大国家集训队训练题，1989）解：令x=a 2,y=b 2,z=c 2，则原题等价于正实数x,y,z 满足x+y+z=1.求:zzy y x x -+-+-111的最小值.记函数x x x f -=1)(（0<x<1）在31=x 处的切线方程为23)31(233+-=x y ，下证：0<x<1时，≥-x x 123)31(233+-x ② 事实上，当0<x<1时，≥-x x 123)31(233+-x ⇔0)43()13(2≤--x x ，从而不等式②成立，由定理3知：233233)1(233111=+-++≥-+-+-z y x z z y y x x ，即222111c c b b a a -+-+-的最小值为233，当且仅当c b a ==时取等号。

例5 已知,,αβγ均为锐角，且333sin sin sin 1αβγ++=，求证：222tan tan tan αβγ++≥证明：令333sin ,sin ,sin x y z αβγ===，则1x y z ++=，于是222222222sin sin sin tan tan tan 1sin 1sin 1sin αβγαβγαβγ++=++---222333222333111x y zx y z =++---记()1)f x x =<<，则()f x '=，1)3x ≥-+, ①为方便，记p q ==则①223322222()13(1)1p q p q p q q q⇔≥-+---22322()(1)[24(31)(2)]0p q q p p q q p q ⇔--++-+≥因为232223110,20,240,10,()0q p q p p q q p q -=>+>+>->-≥，所以①式成立。

从而1)x y z≥++-=，即222tan tan tanαβγ++≥成立。

例6 已知1,,,2a b c a b c R+++=∈+的最大值。

解：记1(),(0)412f x xx=<<+，则2()()f x f x'''==，所以当1(0,]4x∈时，()0,()f x f x''<上凸，1)4150610xx≤-++恒成立；当11[,)42x∈时，11()()())46f x f x f x'<=≤≤-+即当1(0,)2x∈1)6x≤-恒成立。

从而()()()f a f b f c++≤1)2a b c≤++-=a=b=c是成立。

例7设a,b,c为正实数，证明：2>+++++bacacbcba证：由于齐次性，不妨设a+b+c=3，则问题等价于2333>-+-+-ccbbaaxxxf-=3)(（0<x<3）在5.1=x处的切线方程为：321)23(32xxy=+-=，易证当0<x<3时，xxx323≥-，③事实上，当0<x<3时，xxx323≥-)32(2≥-⇔x，从而不等式③成立。

由定理3知：2)(32=++≥+++++cbabacacbcba，但等号不能取到。

例8已知a,b,c为直角或钝角三角形三边，求证：102535222222222<+++++≤bacacbcba证：不仿a ≤b<c,a 2+b 2+c 2=3，由于已知a,b,c 为直角或钝角三角形三边，故3=a 2+b 2+c 2≤2c 2，c 2≥23,又a+b>c>0，故2(a 2+b 2)≥(a+b)2>c 2,从而3=a 2+b 2+c 2〉23c 2，c 2<2，总之23≤c 2<2，1<a 2+b 2≤23。

(1) 记函数xxx f -=3)((0<x<3)，则2)3(3)(x x f -='，3)3(6)(x x f -=''，当0<x<3时，0)(>''x f ，从而函数x x x f -=3)(在(0，3)上下凸，所以23)2(23322222222ba b a b b a a +-+≥-+-22326c c +-=， 故≥+++++222222222b a c a c b c b a 4242222918933326cc c c c c c -+-=-++-. 由于424291893)(c c c c g -+-=在)2,5.1[上是增函数，所以35)5.1()(2=≥g c g ， 故35222222222≥+++++ba c a cbc b a ，等号当且仅当a 2=b 2=43,c 2=23时取到. (2) 设a 2+b 2=k ，则c 2=3-k ，1<k ≤1.5，由定理2知：当x ∈(0,k)时，曲线全在直线y=kx-3的下方，所以k k b b a a -≤-+-3332222,从而5.2392332222222222<-+-=-+-≤+++++k k k k k k b a c a c b c b a 由(1)(2)本例不等式得证。