§ 1
1．1
函数与方程
利用函数性质判断方程解的存在
预习课本 P115～116，思考并完成以下问题
1．函数的零点的定义是什么？
2．判断函数 f(x)在区间(a，b)内有零点的方法是什么？
[新知初探]
1．函数的零点 (1)函数的零点：函数 y＝f(x)的 图像 与 横轴的交点的横坐标 称为这个函数的零点． (2)函数 y＝f(x)的零点，就是方程 f(x)＝0 的解． 2．零点存在性定理 若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线 ，并且在区
)
法一：(判定定理法)∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝2＋lg 2－2＝lg 2＞0， ∴f(x)在(0,1)上必定存在零点． 又显然 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 在(－1，＋∞)上为增函数， 故 f(x)有且只有一个零点．
法二：(图像法)如图，在同一坐标系中作出 h(x)＝2－2x 和 g(x) ＝lg(x＋1)的图像．
[活学活用]
函数 f(x)＝x A．0 C．2
1 3
1 －3x 的零点个数是
(
)
B． 1 D．3
1 3
解析：选 B 函数 f(x)＝x 个数，即方程 x
1 3 1 3
1 －3x 的零点
1 －3x＝0
的根的个数，
1 y＝3x
即函数 y＝x 的图像与函数
A．(1,2) C．(3,4)
[解析]
因为 f(1)＝ln 1＋2×1－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋
2×2－6＜ln e2－2＝0， f(3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4 ＋2×4－6＝2ln 2＋2＞0，f(5)＝ln 5＋2×5－6＝ln 5＋4＞0，所 以 f(2)· f(3)＜0，又函数 f(x)的图像是连续不断的一条曲线，故函 数 f(x)的零点所在的一个区间是(2,3)．[答案] B
(4)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则 f(a)· f(b)＜0.( × )
2．函数 y＝4x－2 的零点是 A．2
1 C.2，0
( B．(－2,0) 1 D. 2
)
答案：D
3．下列函数没有零点的是 A．f(x)＝0 C．f(x)＝x －1
2
( B．f(x)＝2 1 D．f(x)＝x－x
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴在(1,2)内 f(x)无零点． 2 又∵f(3)＝ln 3－ ＞0，∴f(2)· f(3)＜0. 3 ∴f(x)在(2,3)内有一个零点．故选 B.
判断函数零点的个数
[典例] A．0 C．2
[解析]
函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数为( B． 1 D．3
求函数的零点
[典例] 求下列函数的零点． (2)f(x)＝x4－1.
(1)y＝－x2－x＋20；
[解]
(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)
＝－(x＋5)(x－4)， 方程－x2－x＋20＝0 的两根为－5,4.故函数的零点是－5,4. (2)由于 f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程 x4－1＝0 的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.
)
答案：B
1 4．函数 f(x)＝log2x－x的零点所在的区间为
1 A.0，2 1 B.2，1
(
)
C．(1,2)
D．(2,3)
1 1 ∵f 2 ＝log2 －2＝－3＜0， 2
解析：选 C
1 1 f(1)＝log21－1＝－1＜0，f(2)＝log22－ ＝ ＞0， 2 2 ∴函数零点所在区间为(1,2)．
－
解：(1)由 2x－1＝0，得 x＝0，故函数的零点为 0. (2)由 lg(x2－ 1)＋8＝0，得 x＝ ± 10－8＋1. (3)由 ex 1－4＝0，得 x＝1＋ln 4，故函数的零点为 1＋ln 4.
－
10－8＋1，故函数的零点为±
判断函数零点所在的区间
[典例] 函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点所在的一个区间是( B．(2,3) D．(4,5) )
函数零点的求法 求函数 f(x)的零点时，通常转化为解方程 f(x)＝0，若方 程 f(x)＝0 有实数根，则函数 f(x)存在零点，该方程的根就是 函数 f(x)的零点；否则，函数 f(x)不存在零点．
[活学活用]
求下列函数的零点． (1)f(x)＝2x－1；(2)f(x)＝lg(x2－1)＋8； (3)f(x)＝ex 1－4.
取值范围． (1)一个根大于 1，一个根小于 1； (2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
解：(1)方程 x2－2ax＋4＝0 的一个根大于 1，一个根小于 1，设 f(x)＝x2－2ax＋4，结合二次函数的图像与性质及零点的存在性 5 定理得 f(1)＝5－2a＜0，解得 a＞ . 2 故实数 a
5 的取值范围为2，＋∞
(2)方程 x2－2ax＋4＝0 的一个根在(0,1)内，另一个根在 (6,8)内，结合二次函数的图像与性质及零点的存在性定 f0＝4＞0， f1＝5－2a＜0， 理得 f6＝40－12a＜0， f8＝68－16a＞0， 故实数 a
图像
的交点个数；画出两者的图像(如图)，可得交点的个数为 1.
与零点有关的参数取值范围问题
[典例] 已知 a 是实数，函数 f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函
数 y ＝ f(x) 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ________．
[解析] 易知 a≠0，令 f(x)＝0，即 2a|x|＋2x－a＝0，变形
根据函数零点个数求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问 题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐 标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
[活学活用] 已知关于 x 的方程 x2－2ax＋4＝零点．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数 y＝f(x)的零点是一个点． (2)函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的解． (× ) (√ )
(3)若函数 y＝f(x)的图像是连续不断的，且 f(a)· f(b)＜0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点． (× )
f(b)<0 ，则在(a，b)内，函数 y 间端点的函数值 符号相反 ，即 f(a)·
＝f(x) 至少有一个 零点，即相应的方程 f(x)＝0 在(a，b)内至少有 一个实数解．
[点睛] (1)方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点． (2)f(a)· f(b)<0 只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点 的个数，如下图中的图(1)和图(2)．
解决零点所在区间的判断问题，只需计算选项中所 有的区间端点对应的函数值并判断正负即可．
[活学活用]
2 函数 f(x)＝ln x－x的零点所在的大致区间是 A．(1,2)
1 C.e，1和(3,4)
(
)
B．(2,3) D．(e，＋∞)
解析：选 B
∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
10 17 解得 ＜a＜ . 3 4
10 17 的取值范围为 3 ， 4 .
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1 1 得|x|－ ＝－ax，分别作出函数 y1＝|x|－ 2 1 1 ，y ＝－ax 的图像，如图所示． 2 2
1 由图易知：当 0＜－a＜1 或 1 －1＜－a＜0， 即 a＜－1 或 a＞1 时， y1 和 y2 的图像有两 个不同的交点， ∴当 a＜－1 或 a＞1 时， 函数 y＝f(x)有且仅有两个零点， 即实数 a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)
由图知， g(x)＝lg(x＋1)和 h(x)＝2－2x 的图像有且只有一个交点， 即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零点． [答案] B
判断函数零点的个数的主要方法 (1)利用判定定理法判断：对于一般函数的零点个数的判 断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然 后借助于函数的单调性判断零点的个数． (2)利用图像法判断：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝ h(x)，在同一坐标系中作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图像，利用 图像判断方程根的个数．