差分方程模型
①建立差分方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。

一阶常系数线性差分方程的一般形式为
1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）
②求解一阶常系数齐次线性差分方程
10,(0)t t y ay a +-=≠（2）
常用的两种解法
1）迭代法
假设0y 已知，则有
2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======
一般有
0(0,1,2,).t t y a y t ==
10t t y ay +-=（3）
2）特征方程法
假设
(0)t Y λλ=≠
为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程
10(0),t t a λλλ+-= ≠
解得特征根：.a λ=
则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)
例题：
设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？
解：设每月应付x 元，月利率为12
r ，则第一个月应付利息为 1.12224
r a ra y =⨯=
第二月应付利息为
2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
此方程为一阶常系数非线性差分方程。

其相应的特征方程为
(1)012
r λ-+= 特征根为112
r + 则得到通解为
1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
为任意常数). 解得特解为
t y x *=
所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
当112224r a ra y =⨯=时，解得24112
ra x c r -=+。

所以解得满足初始条件的特解为
1124112112
11.
2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为
11212121212121221112n
n
n I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，
平均每月需要付
12
12
1
21212
11
12
n
n
a r r
r
⎛⎫
⨯+⨯
⎪
⎝⎭
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
元。