差分方程模型
差分方程建模
•处理动态的离散型的问题
•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，
但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更 为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连 续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题
差分方程模型
一、银行复利问题
二、抵押贷款买房问题
三、市场经济中的蛛网模型
四、减肥计划——节食与运动
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
P2
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型 yk f ( xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
模 型 假 设
记号
1. 储蓄的年利率为 r 2. 任何时候都可以存款，但存款利息只 从下一时期开始计算，如时间段开始第 一天的存款即开始计算利息
y ( t ) : t期结束时的总存款
x ( t ) : 第t期内的新存款
模型
y(t ) (1 rn ) y(t 1) x(t )
其中（ 1 rn ) 1 r
背 景
问 题
公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？
假 设
贷款期限内利率不变
银行利息按复利计算
记 号
A（元）：贷款额（本金） n（月）：货款期限 r ：月利率 B(元) :月均还款额
Ck：第k个月还款后的欠款
模 型
Ck (1 r )Ck 1 B
C0 A
Cn 0
求 解
(1 r ) n r B A n (1 r ) 1
xk 1 h( yk )
yk yk 1 xk 1 h 2
设供应函数为 xk 1 x0 [( yk yk 1 ) / 2 y0 ]
需求函数不变
yk y0 ( xk x0 )
2xk 2 xk 1 xk 2(1 ) x0 , k 1,2,
方程模型与蛛网模型的一致
Kf
1/ K g
结果解释 结果解释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yk y0 ( xk x0 )
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
xk 1 x0 ( yk y0 )
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 ~ 消费者对需求的敏感程度 ~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定
1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
1. 使 尽量小，如 =0 需求曲线变为水平
以行政手段控制价格不变
2. 使 尽量小，如 =0
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0 x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
xk 1 h( yk )
k x x ( ) ( x1 x0 ) xk 1 x0 ( xk x0 ) k 1 0
1 ( 1 / )
xk x0
xk
P0稳定 K f K g P0不稳定 K f K g
1 ( 1 / )
五、差分形式的阻滞增长模型 六、按年龄分组的种群增长 七、差分基础知识
一、银行复利问题
背 景
•任何时候都可以存款
•所付利息一年内复合n次，即把一年分n个相 等的时间段，而所付利息为每一时间段的未 尾.
•给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额
分 析
•帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的 •本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利， 及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之 和
二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2xk 2 xk 1 xk 2(1 ) x0
k k x c c 方程通解 k (c1, c2由初始条件确定) 1 1 2 2
代入n=180、 r=0.003675、 B=1977.04
结果： A=260000（元） 一次性优惠价9.8折
还款总额 ？
利息负担总额 ？
三、市场经济中的蛛网模型
供大于求
Hale Waihona Puke 价格下降数量与价格在振荡
减少产量
现 象
增加产量
价格上涨
供不应求
问 题
描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
x
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
P P P P P P P P0 1 2 3 1 2 3 0
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f g P4 P0 y
蛛 网 模 型 yk f ( xk ) xk 1 h( yk ) yk g ( xk 1 ) x1 y1 x2 y2 x3 设x1偏离x0 xk x0 , yk y0 xk x0 , yk y0
n
注：上式中n=2时，相应于半年的复利，而n=365 则是相应于逐日计算的复利
二、抵押贷款买房问题
每户人家都希望有一套属于自己的住房，但 又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款 买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住 房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花 园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性 付款优惠价40.2万元。若不能一次性付款也没 关系，只付首期款为15万元，其余每月1977.04 元等额偿还，15年还清。(公积金贷款月利息为 3.675‰）。