【最新整理，下载后即可编辑】第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求：(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量.(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点：(1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化.3．教学难点：矩阵的相似对角化.4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形.5．教学内容：§5.1 方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的概念在一些应用问题中常会用到一系列的运算:.,,,,2X A X AAX k为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ和向量X 就是方阵的特征值与特征向量.定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值,称x 为A 的属于特征值λ的特征向量．下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程：0)(=-⇔=x E A x x A λλ或者 0)(=-x A E λ0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-⇔E A λ0)(det =-⇔A E λ特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ特征多项式：λλλλλϕ---=-=nn n n n n a a a a a a a a a E A212222111211)(det )(])1([01110n nn n na a a a a -=++++=--λλλA 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21则 (1)nnn a a a +++=++ 221121λλλ)(1A tr a ni ii ==∑=称为矩阵A 的迹。
(主对角元素之和)(2)An ni i==∏=λλλλ 211例1求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.2. 特征向量的性质方阵A关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组0)(=-X A I i λ的非零解。
由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A关于i λ的特征向量。
在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性相关性。
定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量，则r X X X ,21，是线性无关的。
定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。
定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中线性无关的最大个数.t ≤由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。
例4求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 的特征值与特征向量． 解 2)1)(5(122212221)(+-=---=λλλλλλϕ0)(=λϕ⇒1,5321-===λλλ求51=λ的特征向量：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-4222422245E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000110101行, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111p)0(111≠=k p k x求132-==λλ的特征向量：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--222222222)1(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000000111行, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1013p3322p k p k x +=（32,k k 不同时为0）例5 设33⨯A 的特征值为3,2,1321-===λλλ, 求 )3(det 3E A A +-．解 设13)(3+-=t t t f , 则E A A A f +-=3)(3的特征值为17)(,3)(,1)(321-==-=λλλf f f 故51)17(3)1()3(det 3=-⋅⋅-=+-E A A思考题：设4阶方阵A 满足条件：,0det ,2,0)3det(<==+A E AA A E T求*A 的一个特征值。
(答案：34)作业：习题册第五章第一节。
§5.2 矩阵相似对角化1．相似矩阵：对于n 阶方阵A 和B , 若有可逆矩阵P 使得B AP P =-1,称A 相似于B , 记作B A ~．相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下列三个性质：(1)A A ~：A AE E =-1(2) A B B A ~~⇒： A P B P =---)()(111 (3) C A C B B A ~~,~⇒若两个矩阵相似时，我们可以得到什么结论呢?定理1: 设n 阶方阵A 和B 相似，则有 (1),)()(B r A r = (2)，B A =A )3(和B 的特征多项式相同，即,B I A I -=-λλ 从而A 和B 的特征值相同。
证明：性质(1),(2)显然，下面只证明性质(3).因为,~B A 故存在可逆矩阵P 使,1B AP P=-于是.)(111A I P A I P P A I P AP P IB I -=-=-=-=----λλλλλ 显然，若方阵A 与对角阵相似，则对角阵对角线上的元素即为A 的特征值。
例1：设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=12422421x A 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A 45y ，求.,y x解：利用A =A 得到方程,0843=+-y x再利用)()(A =tr A tr ，得到.12+=+y x有了对角阵，我们可以利用它来计算矩阵的方幂：若1-=PBP A ， 则.1-=P PB A k k2．矩阵相似对角形若方阵A 能够与一个对角矩阵相似, 称A 可对角化． 定理2 n 阶方阵A 可对角化A ⇔有n 个线性无关的特征向量． 证 必要性．设可逆矩阵P 使得Λλλdef11=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n AP P即ΛP AP =．划分[]n p p P 1=, 则有[][]Λn n p p p p A 11= [][]n n n p p p A p A λλ 111=⇒ ),,2,1(n i p p A i i i ==⇒λ因为P 为可逆矩阵, 所以它的列向量组n p p ,,1 线性无关． 上式表明：n p p ,,1 是A 的n 个线性无关的特征向量． 充分性．设np p ,,1 线性无关, 且满足),,2,1(n i p p A ii i ==λ,则[]n p p P1=为可逆矩阵,且有[][]n n n p p p A p A AP λλ 111==[]ΛΛP p p n == 1 即Λ=-AP P 1．[注] Λ⇒Λ~A 的主对角元素为A 的特征值． 推论1n n A ⨯有n 个互异特征值A ⇒可对角化．推论2 设n n A ⨯的全体互异特征值为m λλλ,,,21 , 重数依次为m r r r ,,,21 ,则A 可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值i λ,A 有i r 个线性无关的特征向量．例2 判断下列矩阵可否对角化：(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A , (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ,(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A 解 (1) )3)(2)(1()(+++-=λλλλϕA 有3个互异特征值 A ⇒可对角化 对应于3,2,1321-=-=-=λλλ的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4212p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=9313p构造矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=941321111P , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=Λ321则有 Λ=-AP P 1．(2) 2)1)(5()(+--=λλλϕ例1求得A 有3个线性无关的特征向量 A ⇒可对角化 对应于1,5321-===λλλ的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112p ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1013p构造矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101011111P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ115 则有 Λ=-AP P 1．(3) 2)1)(2()(---=λλλϕ, 例2求得, 对应于2重特征值132==λλ, A 只有1个线性无关的特征向量 A ⇒不可对角化．例3设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A , 求),3,2( =k Ak．解 例4求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101011111P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ115, 使得Λ=-AP P 1：11,--Λ=Λ=P P A P P A k k故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21112111131)1()1(5101011111k kkk A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+---+=δδδδδδδδδ25555255552531k k kk k k k k k（k )1(-=δ）思考题：设,3254⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=A 求.100A(答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⨯-⨯+-101101100100252225525231)作业：习题册第五章第二节。
§5.3 Jordan 标准形从上节我们看到，不是每个方阵都能相似于对角阵的，当 矩阵不能相似于对角阵时，总是希望能找到形式尽可能简单一些 的矩阵，使任何方阵都能相似于这种矩阵。
这就是这一节将要介 绍的Jordan 矩阵。
在此，我们只介绍Jordan 矩阵和方阵相似于 Jordan 矩阵的一种求法。
1 Jordan 矩阵：形如的r 阶方阵称为一个r 阶Jordan 块。
称主对角线子块为Jordan 块)(i i J λ 的准对角矩阵为Jordan 矩阵。
定理1：在复数域上，每个n 阶方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵J ，即存在可逆矩阵P ，使得rr J ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ111)(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(2211m m J J J J λλλ .)()(22111⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡==-J J J AP P λλ知道了什么是Jordan 矩阵后，现在的问题是如何求Jordan 标准形。