1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0
0
0
1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当[xl x≠,0y（] 零(l向x量)T ）y 时l，xT[xy, x]l>( x0T．y) l[x, y] 施瓦兹（Schwarz）不等式 [ x y, z] ( x y)T z[x, (yx]2T ≤[yxT, )x]z[y,(yx]T．z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]
|| x || || y ||
称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交．
说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．
§1 向量的内积、长度及正交性
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
于是
li
[ x, ei ] [ei , ei ]
[x, || ei
ei ] ||2
§1 向量的内积、长度及正交性
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
x2
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP | x12 x22 [x, x]
O
x1
P x1
x3
x2 O
若令 x = (x1, x2, x3)T，则 | OP | x12 x22 x32 [ x, x]
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．
❖ 齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
x+y
y
❖ 三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
三、向量的正交性
施瓦兹（Schwarz）不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x ||2·|| y ||2
§1 向量的内积、长度及正交性
二、向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 xn2
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．
当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
❖ 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
1 0 0 0
例： e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
0 1
,
e4
0
0
0 0 0 1
是 R4 的一个规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
1 2 1 2 0 0
e1
1
0
2
,
e2
1
0
2
,
e3
1
0
2
,
e4
0 12
0
0
1 2
~
0
1
0
~
0
1
0
令 x3 为自由变量
1
1
从而有基础解系
0
，取
a3
0
即可．
1
1
§1 向量的内积、长度及正交性
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V Rn中的向量， 满足
✓ e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； ✓ e1, e2, …, er 两两正交； ✓ e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
1
1
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
[a2, a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0
1
Ax
1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0
0
§1 向量的内积、长度及正交性
1
Ax
1
1 2
1 1
x1 x2
x3
0
0
1 1 1 r 1 1 1 r 1 1 1 r 1 0 1
1
2
1
~
0
3
0
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
§1 向量的内积、长度及正交性
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
§1 向量的内积、长度及正交性
一、向量的内积
定义：设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令
[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn
x1, x2 ,
y1
,
xn
y2
xT
y
yn 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．