0b
rR a
结果：V
q
q
4 r 4 R
0
0b
R rR
a
b
0
rR B
Ra p1 p2 p3
V
方法二 电势叠加法
V
q
4
R
,
0
q,
rR rR
V
4
0
r
OR
r
A
O RA RB
VA
q
4 0
q
RA ,
,
4 0r
r
r RA r RA
B
VB
q
4
0 q
RB ,
,
4 0r
r RB r RB
求均匀带电细杆延长线上一点的场强
已知 q ,L,a
x dx
P
1 dq
O
dE 40 r2 r
L
X
a dE
dE
4
0
(
dq La
x
)2
E
L
0
4
0
(
dx
La
x
)2
(1 1 )
qL
q
4 0 a L a 4 0aL( L a ) 4 0a( L a )
例1 均匀带电球面，电量Q，半径R 。
求 电场强度分布。
解
E
沿球面法线取方过向P点。的同心球
面为高斯面，电通量为
E dS EdS E dS
E dS EdS
dS E
+
+
+P
R rr
O
+
+
+
E4πr 2
由高斯定理 E4πr2 q内
0
• P点在球外 ( r > R )
q内 Q
E
Q
4π 0 r
2
• P点在球内 ( r < R )
q内 0
R O
r
例2 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+
求 电场强度分布。
解 电场分布具有轴对称性 ，以高为l
r
的同轴圆柱面为高斯面，电通量
e
E dS
S
E
dS
E dS E dS E dS
侧
上底
下底
EdS E dS E 2πrl
侧
侧
根据高斯定理 E 2πrl l / 0
R2、R3，分别带电q、Q
q q
求 ①电荷及场强分布；球心的电势 B A R1 R2
②如用导线连接A、B，再作计算
O R3
解: 电荷分布 q q Q q
由高斯定理得
0 r R1 R2 r R3
q
场强分布 E 4 0r 2
R1 r R2
Qq
4 0r 2
r R3
Q q
场
强 分
E
布
0 r R1 R2 r R3
②
VP E • dl
P
E i
qx
4 0
(R2
x
2
)
3 2
r
R
O
Px
qx
VP x 4 0 ( R2 x 2 )3/ 2 • dx
q
2R
40 R2 x2 40 R2 x2
例3、已知球面电荷为q,球半径为R,求其激发场的电势
r
O
U
P
VP E • dl
P
rR
R
VP E • dl E • dl
E
2π 0 r
dS
E
l
例3 “无限大”均匀带电平面，电荷面密度为
求 电 场强度分布。
解 选取垂直带电面的关于带电平
面对称圆 柱形高斯面
S
e E dS
E dS E dS E dS
侧
左底
右底
0 E dS E dS
左底
右底
0 E1S E2S
两个底面对称 E1 E2 E
练习：有一等量异号的同心带电球面，已知每个球
面的带电量为q, 求其电势分布？
由高斯定理可以求得：
0
E
q
r RA r RB
4 0r 2 RA r RB
由电势定义 VP E • dl
P
1) r Ra
Ra
Rb
Rb
q
VP1 E • dl E • dl E • dl
r
Ra
Rb
V RA
VA
q
4 0
q
RA ,
,
4 0r
r RA r RA
O RB
r
VB
q
4
0 q
RB ,
,
4 0r
r RB r RB
V VA VB
q
q
4 0 RA
4 0 RB
,
r RA
V
q
4
0 r
q
4 0 RB
,
RA r RB
0,
r RB
例. 已知:金属球R1，金属球壳 Q q
E d 2 0
板内：
e
2ES
S 2x 0
E x
0
E
x
o
x S
d
例1 已知：q , r
1）V ? o
求：
q
q
2)已知q ,功A ？
0
o
o
解： 3）q 的电势能改变量E ？
r
0
p
q
q
1）V1
q
4 0 r
,
且V1 V2 V3 V4
V0
4V1
q
0 r
qq
2) A q (V V ) q V 0
根据高斯定理 e S / 0
E
2 0
讨论
无限大均匀带电板
E垂直带电平面 ，取关于平
板对称的圆柱面为高斯面。 S
x
板内： e 2ES
S 2x 0
x
E
0
S d
讨论
无限大均匀带电板
E垂直带电平面 ，取关于平
板对称的圆柱面为高斯面。
板外：
Sd e 2ES 0
r
R
q
0 R 4 0r 2 dr
q
4 0 R
rR
VP
r
q
40r 2
dr
q
4 0r
0
R
r
例4 无限长带电直导线的电势,已知电荷线密度为
y 解：p0为零参考点
r0
p0
p
0
r
r
E 20r er
UP
r0
E
d
r
r
r0 d r ln r0 r 20r 20 r
Rb Ra p1 p2 p3
q
4 0r 2
R1 r R2
B
q q
A R1
E
E 0
E
1 r2
R
O
r
E 0
讨论
均匀带电球体
E
沿球面法线取方同向心。球面为高
斯面，电通量为
E dS
E4πr2
q内
0
• 球外( r > R )
q内
4 3
πR3
E
3 0
R3 r2
• 球内 ( r < R )
q内
4 3
πr 3
E r 3 0
r+
++r+
+ +
R +++
E
E
1 r2
济南大学物理例题集
例题 求放在正方形中心的点 电荷q0所受的库仑力。
解 基本原理+叠加原理
q
q
a q0
F
q1q2
4 0r 2
eˆ
q
F
1
4 0
qq0 a2
F0 4F cos 45
q F0
F0
2
2 0
qq0 a2
方向竖直向下
思考：若将下边的两个负电荷换成等量 的正电荷，结果如何？
★ 课堂练习：
o
0
0
0 0 r
0
3）W W
W
qq qV 0
p
p0
p
0 o r
0
例2 均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。
求：圆环轴线上一点的电势
解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq
dq dl
dVp
dq
4 0r
40
dl
R2
x2
dq
r
R
O
Px
Vp
l
dl 40 R2 x2
2R 40 R2 x2
dq
• dr
Ra 4 0r 2
q
q
4 0 Ra 4 0 Rb
2) Ra r Rb
Rb
VP2 E • dl E • dl
r
Rb
q Rb
r 40r 2 • dr
q q
40r 40Rb
3) r Rb
VP 3 E • dl 0 • dr 0
r
r
Rb
q
q
4 R 4 R
0a