在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: Sn (x) x (x2 x) (xn xn1) xn
0, 0 x 1 S(x)
1, x 1
xn, 0 x 1
rn (x) S(x) Sn (x) 0, x 1
取正数
1 2
,
对无论多么大的正数 N , 取 x0
1
(12) N 1,
证: 设 r max{ a , b },
则对[ a , b ] 上的一切 x , 都有
R a O b R x
an xn anr n (n 0,1, 2,)
而 0 r R, 由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 anr n
n0
绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 证毕
说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点.
Sn (x) 及 S(x), 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的
判别法.
维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法
若函数项级数 un (x) 在区间 I 上满足:
n1
1) un (x) an (n 1, 2,);
2) 正项级数 an 收敛 ,
n1
则函数项级数 un (x) 在区间 I 上一致收敛 .
1 n2
(n 1, 2,)
所以它的收敛域为(, ) , 但逐项求导后的级数
cos x cos 22 x cos n2x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续
和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
目录 上页 下页 返回 结束
1 1 x n1 n1
(0 x )
因此, 任给
> 0, 取自然数
N
1
1
,
则当n > N 时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 证明级数
x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
un (x) 一致收敛于和函数S(x)
n1
部分和序列 Sn (x) 一致收敛于S(x)
余项 rn (x) 一致收敛于 0
目录 上页 下页 返回 结束
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与 y S(x)
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性
及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
目录 上页 下页 返回 结束
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式, 但一般函
数项级数则不一定有这么好的特点.
例如, 级数
x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
(k 1,2,)
Sn
(x)
( x
1 1
x
1
) 2
(
x
1
2
x
1
) 3
( 1 1 ) x n x n1
1 1 x 1 x n1
目录 上页 下页 返回 结束
S(x)
lim Sn (x)
n
lim ( 1 n x 1
x
1 n
) 1
1 x 1
(0 x )
余项的绝对值:
rn (x)
S(x) Sn (x)
令
p
an1 an2 an
,则由上式得 rn (x)
p
2
2
故函数项级数 un (x) 在区间 I 上一致收敛 . 证毕
n1
目录 上页 下页 返回 结束
推论. 若幂级数 an xn 的收敛半径 R > 0 , 则此级
n0
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
之间.
y S(x)
y S(x)
y S(x)
y Sn (x)
I
x
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 研究级数
1
1
1
(x 1)(x 2) (x 2)(x 3)
(x n)(x n 1)
在区间 [0, +∞) 上的收敛性.
解:
1
1 1
(x k)(x k 1) x k x k 1
每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 Sn (x) xn ,
0,
和函数 S(x) lim Sn (x)
n
1,
0 x 1 x 1
该和函数在 x＝1 间断.
目录 上页 下页 返回 结束
又如, 函数项级数
sin 12
x
sin 22 22
x
sin n2 n2
x
因为对任意 x 都有:
sin n2x n2
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 证明级数
sin 12
x
sin 22 22
x
sin n2 n2
x
在(, ) 上 一致收敛 .
证: 因对任意 x (, ),
sin n2 x n2
1 n2
n1
简介 目录 上页 下页 返回 结束
证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, 0, N , 当
n > N 时, 对任意正整数 p , 都有
an1
an2
an p
2
由条件1), 对 x ∈I , 有
un1(x) un2 (x) un p (x)
un1(x) un2 (x) un (x) 在区间 I 上的和函数, 若对
n1
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使
当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
rn (x) S(x) Sn (x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .
显然, 在区间 I 上
O S(x) 1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn (x) r n , 任给 > 0, 欲使
rn
,
只要
n
ln
ln r
, 因此取
N
ln
ln r
, 只要 n N,
必有 rn (x) r n , 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
目录 上页 下页 返回 结束
用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
x0 [0, 1], 而
rN 1(x0 )
1 2
,
因此级数在
[0,
1]
上不
一致收敛 .
目录 上页 下页 返回 结束
Sn (x) xn 0, 0 x 1
S(x) 1, x 1
说明: 对任意正数 r < 1, 级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
y
(1,1)
n 1 n2 n4 n 10 n 30