第四章 时间序列的分解法和趋势外推法
基本内容
一、时间序列的分解
经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动和不规则变动这四个因素的影响。

其中：
（1） 长期趋势因素（T ）
长期趋势因素（T ）反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。

（2） 季节变动因素（S ）
季节变动因素（S ）是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。

（3） 周期变动因素（C ）
周期变动因素也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。

（4） 不规则变动因素（I ）
不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的不规则变动。

二、时间序列分解模型
时间序列Y 可以表示为以上四个因素的函数，即：
(,,,)t t t t t y f T S C I =
时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。

加法模型为：
t t t t t y T S C I =+++
乘法模型为：
t t t t t y T S C I =⨯⨯⨯
乘法模型分解的基本步骤是：
（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC 。

然后再用按月（季）平均法求出季节指数S 。

（2）作散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T 。

（3）计算周期因素C 。

用序列TC 除以T 即可得到周期变动因素C 。

（4）将时间序列的T 、S 、C 分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：
Y I TSC
=
三、趋势外推法
当预测对象以时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。

应用趋势外推法有两个假设条件：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。

选择合适的趋势模型是应用趋势法的重要环节，图形识别和差分法是选择趋势模型的两种基本方法。

（1） 多项式曲线外推法模型的一般性形式为：
2012k t k y b b t b t b t =+++⋅⋅⋅+
当k=1时，为直线模型； 01t y b b t =+
当k=2时，为二次抛物线模型。

2012t y b b t b t =++
当k=3时，为三次抛物线模型。

230123t y b b t b t b t =+++
多项式曲线外推模型的参数一般是根据最小二乘法求得的。

（2） 指数模型
一般形式为：
bt t y ae =
求解指数曲线模型参数方法是现做对数变换，将其化为直线模型，然后用最小二乘法求出模型参数。

修正的指数曲线预测模型为：
t t y a bc =+
求解方法是：
时序数据最好是3的倍数。

随后按时间先后把数据分为三组：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。

则：()()1211111n
n n IIIy IIy c IIy Iy c b IIy Iy c c a Iy b n c ⎧⎛⎫-⎪= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪-⎪=-⋅⎨-⎪⎪⎛⎫-⎪=-⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎩
∑∑∑∑∑∑∑ （3） 对数曲线模型：
常见的对数曲线预测模型有： ln t y a b t =+
求解参数的方法是运用最小二乘法。

（4） 很多的经济现象都经历发生、发展到成熟的过程。

到成熟期后，很难超过一个极限值而继续保持指数增长的趋势。

对于这种现象的预测就因该应用生长曲线趋势外推法。

其中，龚珀兹与皮尔曲线是两个最有使用价值的预测模型。

龚珀兹曲线预测模型的一般形式为：
t b t y ka =
求解上述模型参数方法是先做对数变换：
lg lg lg t y k b a =+
然后通过将时间序列分为三组而求得其参数
()()12lg lg lg lg 1lg lg lg 111lg lg lg 1n n n III y II y b II y I y b a II y I y b b k I y a n b ⎧⎛⎫-⎪= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪-⎪=-⋅⎨-⎪⎪⎛⎫-⎪=-⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎪⎩
∑∑∑∑∑∑∑ 皮尔曲线预测模型的一般形式为：
1t bt L
y ae -=+
求解参数的方法是先做变量代换，然后应用最小二乘法。

（5） 趋势模型的选择
1）图形识别法
这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t 为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。

2）差分法
利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。

一阶差分可以表示为：
1t t t y y y -'=-
二阶差分可以表示为：
1122t t t t t t y y y y y y ---''''=-=-+
紧紧依靠图形法等直观方法来选择趋势曲线模型并不总能取得较好的拟合优度。

为了找出最优的拟合曲线，一般使用不同的曲线模型拟合，并比较它们的拟合标准差，标准误差最小的曲线模型为最好的拟合曲线模型。

这一过程可以通过计算机很方便完成。

差分法识别标准：。