例 分析以下系统在原点处的稳定性
解 原点是系统的唯一平衡状态。选取 它是正定的。沿系统的任意轨线，
• 上式是负定的。因此 是系统的李雅普 诺夫函数，且 是径向无界的。
几何解释： 由 确定的图形 V(x)表示状态 x 到原 点的距离， 则 表示状 态 x 沿系统轨线曲线趋 向于原点的速度。 定理条件的降低： 定理条件 的负定性可以降低。
则xe称为系统的平衡状态或平衡点
系统平衡状态的几点说明:
• 如果系统是线性定常的, 即f (x, t)=Ax, 则当 A为非奇异矩阵时, 系统存在一个唯一的平 衡状态; 当A为奇异矩阵时, 系统将存在无穷 多个平衡状态. • 非线性系统则可以有一个或多个平衡状态 或者没有平衡状态, 这些状态对应于系统的 常值解.
特点：条件是充分必要的；给出了李雅普诺 夫函数的具体构造方法。 关键的问题：如何求解矩阵不等式：
4.3.1 李雅普诺夫方程处理方法 转化成方程来处理。对任意选定的对称正定矩 阵Q，若 有一个对称正定解P，则这样的矩阵P满足矩阵 不等式 定理4.3.2 线性系统渐近稳定的充分必要条件 是李雅普诺夫方程存在对称正定解矩阵。
一个二次型函数 正定的判据： 矩阵P的顺序主子式大于零； 矩阵P的特征值大于零。
优点：1）用于分析；2）用于设计。
定理4.2.1 对非线性系统 ，原点是 系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数 的标量函数 1。 是正定的； 2。沿系统的任意轨线，关于时间的导数 负定； 则系统在原点这个平衡状态处是渐近稳定的。 进而，当 ，若 ，则系统是大 范围渐近稳定的。 满足条件（1）和（2）的函数称为是系统的李 雅普诺夫函数。 问题：定理没有给出李雅普诺夫函数的寻找方 法；给出的只是一个充分条件。
正半定函数 对域Ω（域Ω包含状态空间的原点）上 定义的标量函数V (x) ，如果V(x ) ≥ 0，则 V(x ) 称为正半定函数。 负半定函数 如果－V (x)是正半定函数，则标量函 数V (x)称为负半定函数。
标量函数的不定性 如果在域Ω内，不论域Ω多么小， V (x) 既可为正值，也可为负值，则标量函数V (x) 称为不定的标量函数。
• 这个函数无疑比能量更为一般，其应用也更 广泛。
• 4.1.3 Lyapunov意义下的稳定性定义 系统 的平衡状态xe的球域 S(r), r>0, 是所有满足下式的状态的集合
为向量的2范数或两点的距离，即
Lyapunov意义下的稳定.
定义4.2.1 系统 的平衡状态xe, 如果对 应于每一个ε>0, 存在 一个δ>0（与ε和t0有 关）, 使得对t>t0, 初速 状态在S(δ)内的轨迹 不脱离S(ε), 此平衡状 态称为在Lyapunov意 义下是稳定的.
定理4.2.2 对非线性系统 ，原 点是系统的平衡状态，若存在具有连续一 阶偏导数的标量函数 1。 是正定的； 2。沿系统任意轨线，关于时间导数 半负定 3。在系统任意轨线上， 不恒等于零 4。当 ， 则系统在原点这个平衡状态处是大范围渐 近稳定的。 好处：可以简化稳定性分析。
例 分析系统的稳定性
稳定性问题的一种简化:
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平 衡状态）或给定运动都可通过适当的坐标变 换, 转化为另一个方程的坐标原点.
• 本课程仅讨论扰动方程关于原点这个平衡状 态的稳定性问题, 这种所谓原点稳定性问题.
4.1.2 能量函数
• 稳定性—相关—广义系统能量 • Lyapunov函数—广义的系统能量函数
第4章 Lyapunov稳定性理论
•Lyapunov意义下的稳定性 •Lyapunov第二方法 •线性系统的稳定性分析 •离散时间系统稳定性分析 •Lyapunov稳定性方法在控制系统分析中的应用
实际工程中的（闭环）系统必须平稳运 行, 比如希望系统状态能保持在一个确定的 工作点附近. 用状态空间的说法是（闭环）系统运行 渐进到一个状态 1892年, 俄国数学家Lyapunov在其博士 论文《运动稳定性的一般问题》, 给出了 –稳定性概念的严格数学定义 –解决稳定性问题的一般方法 –奠定了现代稳定性理论的基础.
充分条件→充要条件
例 考虑如下非线性系统
显然原点 是唯一的平衡状态， 试分析其稳定性。 1. 考虑标量函数： 显然，V ( x )是正定的。 2. 沿系统的任意轨线V ( x )对时间的导数
是负定的。
Lyapunov大范围渐近稳定定理
考虑系统 原点是系统的平衡状态。若存在具有连续 一阶偏导数的标量函数V (x, t) ，满足以下 条件： 1、V (x, t)是正定的； 2、沿系统的任意轨线， V (x, t) , 关于时间t 的导数V’是负半定的； 3、在系统的任意轨线上,V’不恒等于零； 4．当 ||x|| →∞时， V (x, t) →∞。 则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近 稳定的。
例
Lyapunov第二方法
用 ������ 或者 来表示 Lyapunov函数，Lyapunov函数关于时间的 导数是
Lyapunov定理
考虑如下非线性系统
原点是该系统的平衡状态。
如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量 函数 ，且满足以下条件： 1、 正定； 2、沿系统的任意轨线， 关于时间t 的导数 是负定的； 则系统在原点处的平衡状态是（一致）渐 近稳定的。满足以上条件 1和 2 的标量函数 称为是系统的一个Lyapunov函数。
Lyapunov意义下的不稳定
定义4.2.4 系统 的平衡状态xe, 如果存 在ε>0, 对不管多么小 的δ>0, 在球域S(δ)内 始终存在状态x0, 使得 以x0为初始状态的轨 迹x(t), t>t0,不能完全 在S(ε)内, 此平衡状态 称为在Lyapunov意义 下是不稳定的.
平衡状态不稳定不能说明轨迹 将趋于无穷远处, 这是因为轨迹 还可能趋于某个极限环.
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
从方程的解，可以得出系统能量的衰减
图4.3 例4.1.2状态方程相图
图4.3表明,从原点很小的领域出发的轨迹能 保持在原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或 者说是渐近稳定的.
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性 的, 电阻 , 而电容具有非线性的库伏 特性 , 则状态方程是
解 系统的平衡状态为
，选取
是半负定的。
因此，根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。 针对以上例子，对
由于
故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。 表明：可以有多个李雅普诺夫函数。
定理4.2.3 设原点是系统 的平 衡状态，若存在标量函数 ，满足 （1） 在原点附近某个邻域内是正定的； （2） 在同样邻域内也是正定的。 则系统在原点处是不稳定的。 例 分析系统的稳定性 选取正定函数
系统是不稳定的。
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4.3 线性系统的稳定性分析
稳定性判别的充分条件；没有给出具体李 雅普诺夫函数的构造方法。那么对特殊的 系统，是否有更好的结论呢？ 线性时不变系统： 候选的李雅普诺夫函数： 沿系统轨线的时间导数
系统渐近稳定的一个充分条件： 即：系统稳定的一个充分条件是存在一个对 称正定矩阵P，使得以上矩阵不等式成立。 定理4.3.1 线性时不变系统 渐近稳 定的的充分必要条件是存在一个对称正定 矩阵P，使得
Lyapunov意义下的渐近稳定
定义4.2.2 系统 的平衡状态xe, 如果对 应于每一个ε>0 , 存在 一个δ>0（与ε和t0有 关）, 使得初始状态在 S(δ)内的轨迹始终在 S(ε)内,并且当t →∞时 x(t)→xe, 此平衡状态 称为在Lyapunov意义 下是渐近稳定的.
定义4.2.3 对系统的所有状态，如果由这 些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则 平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。 或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定 的吸引域为整个状态空间，则称系统的平 衡状态为大范围渐近稳定的。 大范围渐近稳定的必要条件是在整个状 态空间中只有一个平衡状态。
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗 能元件, 所以电路总能量W恒定不变,
从上述式子的最后一个等号容易求出
图4.4 例4.1.3状态方程相图
图4.4表明, 从原点任意小的领域出发的轨迹 不能保持在原点附近, 或者说是不稳定的.
对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义 “能量函数”的简便方法。为了克服这个困 难， • Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为 Lyapunov函数。
例：混沌系统的镇定
例 给定连续时间的定常系统
试判定其稳定性。 系统的平衡状态为
。取
(i) (ii)
为正定；
显然V’是负半定的；
(iii) 可以看出，只有当(a)：x1任意，x2=0 和(b)：x1任意，x2=-1时，V ’(x) =0。而根 据系统的状态方程，在系统的任意轨线上， x2=0，则必然有x1=0；x2=-1时，由状态方 程中的第二个方程可得x1=0，进而由第一 个方程又得到x2=0，这说明x2=-1不可能在 系统轨线上。因此，除了原点以外，在系 统的任意轨线上均有V ’(x) <0。 (iv) 当 ，显然有
Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法, 即Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法.
第一方法是通过微分方程的解来分析运动稳定性
–要求解系统的解而在实际应用中受到很大的限制. –但对某些微分方程来说是比较便利的, 比如线性定常微分方程. （未来可能比较重要）
第二方法构造一个正定的Lyapunov函数
图4.2 例4.1.1状态方程相图
从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原 点附近, 但也不能逐渐趋向于原点, 或者说 是稳定的.
例4.1.2 图4.1所示的电路中, 设电感和电容 都是线性的, 并且R>0, 则状态方程是
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量 是不断减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1,再令初始状态为 .