中学物理力学求极值的常用方法一、知识要点1．极值问题：指极小值和极大值。
注：极值不一定是最值。
2．求极值问题的两个途径：物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。
（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。
（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。
二、应试策略1．用二次函数求极值的方法求极值一元二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0），当x=-ab2时，y 有极小值y 极=a b ac 442-，用a>0时y 有极小值，a<0时y 有极大值。
例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车旁边匀建驶过(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’ (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t 时间两车相距最远，则△S ＝S 2-S 1，S 2=V 0t ，2121at s = 得2236t t s -=∆ (1)当s s a b t 2362==-=时，△S 极=ma b ac 6460442322=⨯--=-或m t t s 62362=-=∆ (2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S ＝0，得t’=4s 。
v t =at’=12m/s答案：(1)2S ，6m ；(2)12m/s 。
---可以利用配方法求解点评：本题可以用v-t 图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。
2．利用一元二次方程根的判别式求极值将二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0），转化为二次方程ax 2＋bx ＋c －y=0，其判别式Δ＝b 2－4aC≥0，x 有实数解，若y≥A ，则y min ＝A ；若y≤A ，则y max ＝A 。
Δ≤0，方程无实数解。
例2．一个质量为M 的圆环，用细线悬挂着。
将两个质量为m 的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。
今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。
证明，当m >32M 时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a ），由牛顿第二定律，得mg cosθ＋N =Rv m 2由动能定理得 mgR （1－cosθ）＝21mv 2由此二式得 N =2mg －3mg cosθ 上式中，N >0，即 cosθ<32以环为研究对象，受力图如（b ），在竖直方向，由牛顿第二定律，有 T+2N’cosθ—Mg=Ma 当环恰好能上升时，a=0，可得 2N’cosθ=MgN’与N 为作用力与反作用力，则2（2mg －3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos 2θ－4mcosθ+M=0上式是关于cosθ的一元二次方程，cosθ为实数，则△≥0，即（4m ）2－4（6m ）M≥0，可得m ≥32M 当m =32M 时，T 恰好为零，但不升起，所以取m >32M 为升起条件。
3．利用三角函数求极值用三角函数求极值，实际上是应用了正、余弦函数的有界性。
①利用倍角公式将y ＝Asin ααcos 转化为y ＝21Asin2α的形式，当α＝45º时，y 有极大值2A。
②将三角函数y ＝asin θ+bcos θ，转化成)sin(22ϕθ++=b a y 的形式，再利用其有界性求解。
例3．质量为m 的物体，在与水平方向成θ斜向上拉力F 牵引沿水平地面上匀速直线运动。
已知物体与地面间的滑动摩擦系数为μ，求力F 的最小值及角θ。
解析。
物体受力情况如图，根据牛顿第二定律得 Fcos θ－f ＝0 F N ＋Fsin θ－mg=0 f ＝μN解得：F ＝θμθμsin cos +mg可写成)sin(12ϕθμμ++=mgF ，其中221cos ,11sin μμϕμϕ+=+=则1)sin(=+ϕθ时，F 有最小值2min 1μμ+=mgF ，此时2πϕθ=+，μπθ1tan 21--=答案：21μμ+mg；μπ1tan 21--点评：利用三角函数的有界性求极值，是中学物理常用的解题方法。
4．利用图象法求极值通过对物理过程的分析和所遵守的物理规律，找出相关变量之间的函数关系，作出物理图象，由图象再求得极值。
通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。
例4．甲、已两光滑斜面高度相同，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同，只是由两部分组成如图所示，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计在拐角处的能量损失，则哪一个小球先滑到底端？解析：小球沿甲斜面OB 做匀加速运动，设其加速度大小为a 1，小球沿乙斜面OD 段、DE 段分别做匀加速运F NGfFθ动，设其加速度大小分别为a 2和a 3,由图象和a=gsin θ可知a 3<a l <a 2．由机械能守恒定律可知，两小球到达斜面底端时的速率大小相等，且通过的路程（即斜面的总长度）相等．可用速率 时间图象求解。
作两小球分别沿甲、乙两斜面运动的速率一时间图象如图所示。
因为速率一时间图线的斜率表示小球加速度的大小，图线与时间轴所围成的面积表示小球所通过的路程，则四边形ODEt 乙与三角形0Bt 甲面积相等时，显然有t 乙<t 甲。
即沿乙斜面的小球先滑到底端。
答案：沿乙斜面的小球先滑到底端。
点评：本题抓住两球的路程相等，利用v-t 图斜率和面积的物理意义解决了时间的最小值问题。
5．利用作图法求极值把复杂的物理过程或各物理量间的关系用几何图形表示，将物理问题转化为几何问题加以解决。
例5．有一小船位于60m 宽的河边，从这里起在下游80m 处河流变成瀑布。
假设河水流速为5m/s ，为了使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？解析：设水速为V 水，船速为V 船，船对岸的实际速度为V 合。
为使小船到达对岸而不至滑过瀑布A 处，过O 作船合速度的方向OA 和水速V 水，如图所示，由几何关系可知V 水与V 合垂直时，V 船最小，V 船方向与岸夹角应为θ。
由几何关系得 346080tan ==θ，θ＝53° s m v v /353cos =︒=水船答案：3m/s ，方向与岸成53°角斜向上游。
点评：本例巧妙利用作图法解决了渡河问题中的极值问题，也是V 船<V 水时航程最小的解决办法，其思路缘于力的分解。
作图法的优点是直观形象，便于定性分析和定量计算。
6．利用基本不等式求极值设a 、b 均为正数，则ab b a 2≥+①若ab= C （常数），当a=b 时取等号，即a+b 有极小值； ②若a+b=C （常数），当a=b 时取等号，即ab 有极大值。
例6．（2010年高考重庆卷，24）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。
当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如题图所示。
已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小V 1和球落地时的速度大小V 2。
（2）向绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？解析：（1）设绳段后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向21142d gt =，水平方向1d v t =得1v12由机械能守恒定律，有2221113()224mv mv mg d d =+-，得252v gd = （2）设绳能承受的最大拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力大小。
球做圆周运动的半径为34R d =，由圆周运动向心力公式，有 21mv T mg R -=，得113T mg =（3）设绳长尾l ，绳断时球的速度大小为3v ，绳承受的最大推力不变，有 23mv T mg l-= 得383v gl =绳断后球做平抛运动，竖直位移为d l -，水平位移为x ，时间为1t ，有2112d l gt -= 31x v t = 得 ()3l d l x -= 当2dl =时，x 有极大值，max 23x = 答案：（1）12v gd =252v gd =；（2）113T mg =（3）当2d l =时，x 有极大值，max 233x =。
例7．（2010年高考江苏卷，14）(16分)在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。
如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg 的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角α＝30°，绳的悬挂点O 距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。
取中立加速度 g ＝10m/s 2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F ；（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。
设水对选手的平均浮力f 1＝800N ，平均阻力f 2＝700N ，求选手落入水中的深度d ；（3）若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。
解析（1）动能定理 21(1cos )2mgl mv α-= ，圆周运动 F ′－mg ＝m 2v l解得F ′＝（3－2cos α）mg人对绳的拉力 F ＝F ′，则 F ＝1080N（2）动能定理 mg （H －l cos α＋d ）－（f 1＋f 2）d ＝0 ，则d=12(cos )mg H l f f mgα-+-，解得 d =1.2m (3)选手从最低点开始做平抛运动x=vt ， H-l=212gt 解得2()(1cos )x l H l α=--当2Hl =时，x 有最大值，解得l=1.5m 因此，两人的看法均不正确。
当绳长钺接近1.5m 时，落点距岸边越远。
答案：（1）1080N ；（2）1.2m ；（3）当2Hl =时，x 有极大值1.5m ，两人的看法均不正确。
三、对应练习1．（2010届福建省泉州市高三四校联考）如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向750角，且小球始终处于平衡状态。
为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是A ．900B ．450C ．150D ．00 答案：C 。
2．（2010年江苏苏锡常镇高三调研, 5）如图所示，有一光滑的半径可变的41圆形轨道处于竖直平面内，圆心O 点离地高度为H 。