科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共5页。

如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓名准考证号侧视俯视绝密★启用前2019年长沙市高考模拟试卷（一）数 学（理科）长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知z 是复数，i 是虚数单位，()1i z - 在复平面中对应的点为P ，若P 对应的复数是模等于2的负实数，那么=z A ．i --1B ．i +-1C ．i -1D ．i -2．已知不等式20x ax b->+的解集为()1,2-，m 是二项式62()b ax x-的展开式的常数项，那么772ma a b=+A ．15-B ．5-C ．a 5-D ．53．以双曲线15422=-y x 的离心率为首项，以函数()24-=xx f 的零点为公比的等比数列的前n 项的和=n SA ．()23123--⨯nB ．n 233-C ．32321-+nD ．3234n-4．已知几何体M 的正视图是一个面积为2π的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为A ．6π和334πB ．6π+43和338π C ．6π+43和34π D ．4(π+3)和34πA ．9900B ．10100C ．5050D ．49506．与抛物线x y 82=相切倾斜角为0135的直线L 与x 轴和y 轴的交点分别是A 和B ，那么过A 、B两点的最小圆截抛物线x y 82=的准线所得的弦长为 A ．4B ．22C ．2D ．27．已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上的一点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线 l 成060。

那么B 点轨迹是 A.．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线D ．两直线8．使得函数()()b x a x x x f ≤≤--=5754512的值域为[]()b a b a <,的实数对()b a , 有( )对A ．1B ．2C ．3D ．无数二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）9．()x G 表示函数3cos 2+=x y 的导数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,3上，随机取值a ,()1<a G 的概率为 ；10．已知向量()y x ,=，()1,2-=x ，设集合{}b a x P ρρ⊥=|，{|Q x b =<r ，当x P Q ∈I 时，y 的取值范围是 ；11．计算：2211x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰_____________； 12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为 ；13．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P 自极点出发作直线运动到达圆：0cos 4=+θρ的圆心位置后顺时针方向旋转60o 后直线方向到达圆周0cos 4=+θρ上，此时P 点的极坐标为 ；14．（几何证明4-1）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直 线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2， EA=1，∠AMB=30o ，那么⊙O2的半径为；15．(不等式4-5)已知332,0,0,0=++>>>z y x z y x ，那么222)213()612()41(xz z y y x +++++的最小值为 ；16．方程a x 2+by 2=1(∈b a ,{1，2，3，4，…，2019})的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离A BCDPME O 1O 2心率最小的椭圆方程为 .三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．函数()()03sin 32cos62>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图像如图所示,A 为图像的最高点,B.C 为图像与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(1)若[]1,0∈x ,求函数()x f 的值域;(2)若()5380=x f ,且⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈32,3100x ,求()10+x f 的值.18．如图一，△ABC 是正三角形，△ABD 是等腰直角三角形，AB=BD=2。

将△ABD 沿边AB 折起，使得△ABD 与△ABC 成30o 的二面角C AB D --,如图二，在二面角C AB D --中. (1) 求D 、C 之间的距离；(2) 求CD 与面ABC 所成的角的大小;(3) 求证：对于AD 上任意点H ，CH 不与面ABD 垂直。

19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当1624x ≤≤时，这种食品市场日供应量p 万千克与市场日需量q 万千克近似地满足关系:()()2414,16,0p x t x t =+-≥≥，()20248ln ,1624q x x=+≤≤。

当q p =市场价格称为市场平衡价格。

（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？ C D A BD C 图一 图二A20．设命题p:函数()1)5(+++=x bx a x f 在()+∞,0上是增函数；命题q:方程022=-+-b ax x 有两个不相等的负实数根。

求使得p ∧q 是真命题的实数对()b a ,为坐标的点的轨迹图形及其面积。

21．已知)0,41(A ，点B 是y 轴上的动点，过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ，若AB AQ AP 2=+,()0,4M .(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线a x =，以PM 为直径的圆与直线a x =的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

22．(1)已知()+∞∈=++,0,,,1c b a c b a ,求证：1log log log 333-≥++c c b b a a ;(2)已知1321=+++n a a a Λ，i a >0(i=1,2,3,…,3n )，求证：1a 3log 1a +2a 3log 2a +3a 3log 3a +…+n a 33log n a n -≥32019年长沙市高考数学模拟试卷 （一）数学（理科）参考答案及评分标准一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B C A B二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)9.87 10. (-8，1] 11. 7ln 23- 12. 060 13. (23，65π) 14. 3 15. 42716. π2027091；20122x +20132y =1和20132x +20122y =1， 三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解(1)由已知得:()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=3sin 32sin 3cos 3πωωωx x x x f又ABC ∆为正三角形,且高为32,则BC=4.所以函数()x f 的最小正周期为8,即4,82πωωπ==,()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34sin 32ππx x f .因为[]1,0∈x ,所以()323,127343≤≤≤+≤x f x ππππ.函数()x f 的值域为[]32,3………………………6分(2)因为()5380=x f ,有，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以，53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567= ………………………………………………12分18. 解: 依题意，∠ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC 在yoz 平面上，Θ△ABD 与△ABC 成30o 的二面角, ∴∠DBY=30o ，又AB=BD=2， ∴ A(0，0，2)，B(0，0，0)，C(0，3，1)，D(1，3，0)，(1)|CD|=222)10()33()01(-+-+-=2 (5)(2)Θx 轴与面ABC 垂直，故(1，0，0)是面ABC 设CD 与面ABC 成的角为θ，而CD = (1，0，-1)，∴sin θ=222222)1(01001|)1,0,1()0,0,1(|-++++-⋅=22 Θθ∈[0，2π]，∴θ=4π；…………………8分 (3) 设AH =t AD = t(1，3，-2)= (t ，3t ，-2 t)，=+AH =(0，-3,1) +(t ，3t ，-2 t) = (t ，3t -3，-2 t+1)，若CH ⊥，则 (t ，3t -3，-2 t+1)·(0，0，2)=0 得t=21， ……………10分 CH 13而=(1，3，0)，·=21-23=-1≠0,∴ 和不垂直， 即CH 不可能同时垂直BD 和BA ，即CH 不与面ABD 垂直。

…………………12分 19. 解：（1）由P=Q 得2(x + 4t -14 )= 24+8ln x20（16≤x ≤24 ，t>0）。

t=213-41x+ ln x 20（16≤x ≤24）。

…………………3分 Θt ′=-41-x 1<0，∴t 是x 的减函数。

∴t min =213-41⨯24+ ln 2420=21+ln 2420=21+ ln 65; ……………………5分t max =213-41⨯16+ ln 1620=25+ ln 45, ∴值域为[21+ ln 65，25+ ln 45] ………7分（2）由(1) t=213-41x+ ln x20（16≤x ≤24）。