1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．2.已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）． （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．3.在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围．5.已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线2C 的解析式；（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值．6.已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．7.已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．8.已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．（1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根；（2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点A （4，0）和B （0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．10.已知关于x 的一元二次方程()23130kx k x +++= (k ≠0).（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根； （2）点在抛物线()2313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；（3） 设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABE ABC S S = ，若存在，求出E 点坐标，若不存在，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，点 A (5,0)，B (3,2)，点C 在线段OA 上，BC =BA ，点Q 是线段BC 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，直线PQ 的解析式为y=kx+b (k ≠0)，且与x 轴交于点D ．（1）求点C 的坐标及b 的值； （2）求k 的取值范围；（3）当k 为取值范围内的最大整数时，过点B 作BE ∥x 轴，交PQ 于点E ，若抛物线y=ax 2﹣5ax (a ≠0)的顶点在四边形ABED 的内部，求a 的取值范围．12.已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.13.二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（1） 求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．2y x bx c =++14.已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2） 当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．15.已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.16.已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-． （1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的17.已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.18.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x =t 和x =t +2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G .①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数的图象与x 轴的正半轴交于A )0(1，x 、B )0(2，x 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .点A 和点B 间的距离为2， 若将二次函数的图象沿y 轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x 轴两交点间的距离为4. （1）求二次函数的表达式；（2）在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由； （3）设二次函数的图象的顶点为D ，在x 轴上是否存在这样的点F ，使得？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.20.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0 （m ＞1）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．21.如图，抛物线c bx x y ++-=2经过、两点，与轴的另一交点是． （1）求抛物线的解析式；（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，求点关于直线的对称点'D 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E,反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点E ，点()3,-n m F 在此反比例函数图象上，求mn 154-的值． (10)A -，(04)C ，x B D BC22.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点． （1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠= ，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=2x 2+bx+c 的图象经过（-1，0）和（23，0）两点. （1）求此二次函数的表达式. （2）直接写出当-23＜x ＜1时，y 的取值范围. （3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m 个单位后，与二次函数y=2x 2+bx+c 图象交点的横坐标分别是a 和b,其中a<2<b ，试求m 的取值范围. 24.已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负整数.（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式；（3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．25.抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点B 坐标为(1+k ，0)．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G ，求抛物线G对应的函数表达式；（3） 将线段BC 平移得到线段B'C'（B 的对应点记作B'，C 的对应点记作C'），使其经过（2）中所得使得抛物线G 的顶点M ，求点B'到直线OC'的距离h 的取值范围．26.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ． （1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式； （3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．27.（2014年丰台二模）如图,二次函数2y x bx c =++经过点（-1,0）和点（0，-3）. （1）求二次函数的表达式；（2）如果一次函数4y x m =+的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G ，如果直线4y x n =+与图象G 有3个公共点，求n 的值.28.（2014年石景山二模）关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．29.(2014年顺义二模)已知关于的一元二次方程2440mx x m ++-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =12BC ，求点P 的坐标．30.(2014年房山二模) 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.x31.（2014年大兴二模）已知：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . （1）当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；（2）若k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．32.（2014年平谷二模）已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．34在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x =（10k >）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2ky x=（20k <）交于点C .x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD 的中点为E .(1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数式表示）； (2)若点E 恰好在双曲线1k y x=（10k >）上，求m 的值； (3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1，且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长.。