中考数学一轮专项复习——函数综合问题（一次函数、反比例函数、二次函数综合）1．【2019遂宁中考】如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB 于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．2．为积极响应党中央关于支援5·12汶川地震灾区抗震救灾的号召，宜佳工厂日夜连续加班，计划为灾区生产m顶帐篷．生产过程中的剩余生产任务y(顶)与已用生产时间x(时)之间的关系如图所示．(1)求变量y与x之间的关系式；(2)求m的值．3．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000元，放养30天的总成本为178 000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为a kg ，销售单价为y 元，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系式为a ＝⎩⎪⎨⎪⎧10 000（0≤t ≤20），100t ＋8 000（20<t ≤50），y 与t 的函数关系如图所示．(1)设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值； (2)求y 与t 的函数关系式；(3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？(总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本)4．A ，B 两地相距1 100米，甲从A 地出发，乙从B 地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇．设甲、乙两人相距y 米，甲行进的时间为t 分钟，y 与t 之间的函数关系如图所示．请你结合图象探究：(1)甲的行进速度为每分钟米，m＝分钟；(2)求直线PQ对应的函数表达式；(3)求乙的行进速度．5. 某坦克部队需要经过一个拱桥(如图所示)，拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m.(1) 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2) 若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；(3) 拱桥下面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？6．如图，已知A (－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －m x＝0的解；(3)求△AOB 的面积；(4)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －m x<0的解集．7．童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．(1)求y 与x 之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ (3)①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3 910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3 910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大．求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．9．某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时，汽车行驶速度不超过(1)(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．10．A ，B 两地相距60 km ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l 1，l 2表示两人离A 地的距离s (km)与时间t (h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A 地的距离与时间关系的图象是 (填l 1或l 2)；甲的速度是 km/h ，乙的速度是 km/h ；(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km?11．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为15～20 ℃的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y ( ℃)随时间x (h )变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？(2)求k的值；(3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在15～20 ℃的时间有多少小时？12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x 轴交于点E，B.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．参考答案1．【2019遂宁中考】如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB 于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【解答】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝；（2）如图：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m ≠4又∵m ＞0∴m ＝5或1或2∴点P 的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．2．为积极响应党中央关于支援5·12汶川地震灾区抗震救灾的号召，宜佳工厂日夜连续加班，计划为灾区生产m 顶帐篷．生产过程中的剩余生产任务y (顶)与已用生产时间x (时)之间的关系如图所示．(1)求变量y 与x 之间的关系式； (2)求m 的值．【解析】 (1)设y 与x 的关系式为y ＝kx ＋b由图象知，点(30,400)，(50,0)在y ＝kx ＋b 的图象上，将两点的坐标代入上述关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝400，50k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝1 000.∴y 与x 的关系式为y ＝－20x ＋1 000.(2)当x ＝0时，y ＝1 000，所以m 的值是1 000.3．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000元，放养30天的总成本为178 000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为a kg ，销售单价为y 元，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系式为a ＝⎩⎪⎨⎪⎧10 000（0≤t ≤20），100t ＋8 000（20<t ≤50），y 与t 的函数关系如图所示．(1)设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值；(2)求y 与t 的函数关系式；(3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？(总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本)解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10m ＋n ＝166 000，30m ＋n ＝178 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝600，n ＝160 000.(2)当0≤t ≤20时，设y ＝k 1t ＋b 1，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝16，20k 1＋b 1＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝35，b 1＝16，∴y ＝35t ＋16.当20<t ≤50时，设y ＝k 2t ＋b 2，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧20k 2＋b 2＝28，50k 2＋b 2＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－15，b 2＝32，∴y ＝－15t ＋32.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧35t ＋16（0≤t ≤20），－15t ＋32（20<t ≤50）.(3)由题可知W ＝ya －mt －n .当0≤t ≤20时，W ＝10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫35t ＋16－600t －160 000＝5 400t ，∵5 400>0，∴当t ＝20时，W 最大＝5 400×20＝108 000.当20<t ≤50时，W ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15t ＋32(100t ＋8 000)－600t －160 000＝－20(t －25)2＋108 500.∵－20<0，抛物线开口向下，∴当t ＝25，W 最大＝108 500.∵108 500>108 000，∴当t ＝25时，W 取得最大值，该最大值为108 500元．4．A ，B 两地相距1 100米，甲从A 地出发，乙从B 地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇．设甲、乙两人相距y 米，甲行进的时间为t 分钟，y 与t 之间的函数关系如图所示．请你结合图象探究：(1)甲的行进速度为每分钟__60__米，m ＝__9__分钟； (2)求直线PQ 对应的函数表达式； (3)求乙的行进速度． 【解析】 (1)由题意，得甲的行进速度为(1 100－980)÷2＝60米，m ＝7＋2＝9分钟． (2)设直线PQ 的解析式为y ＝kt ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1 100＝b ，980＝2k ＋b ， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－60，b ＝1 100，y ＝－60t ＋1 100.∴直线PQ 对应的函数表达式为y ＝－60t ＋1 100； (3)设乙的行进速度为a 米/分，由题意，得． 980÷(a ＋60)＝7， 解得a ＝80.经检验a ＝80是原方程的根， 答：乙的行进速度为80米/分．5. 某坦克部队需要经过一个拱桥(如图所示)，拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC ＝6m ，跨度AB ＝20m ，有5根支柱：AG 、MN 、CD 、EF 、BH ，相邻两支柱的距离均为5m .(1) 以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，支柱CD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2) 若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；(3) 拱桥下面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m ，宽2m ，高3m ，行驶速度为24km /h ，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m 的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【解析】(1)设y ＝ax 2＋c ，把C (0，6)、B (10，0)代入，得a ＝－350，c ＝6. ∴y ＝－350x 2＋6.(2) 当x ＝5时，y ＝－350×52＋6＝92，∴EF ＝10－92＝112，CD ＝10－6＝4，支柱的总造价为2(2×112＋2×10＋4)＝70(万元).(3) ∵坦克的高为3米，令y ＝3时，－350x 2＋6＝3，x ＝±52，∵7＜52＜8，坦克宽为2米，∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160(米)，坦克的行驶速度为24km /h ＝400米/分，通过隧道的最短时间为1000＋160400＝2.9(分).6．如图，已知A (－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －m x＝0的解；(3)求△AOB 的面积；(4)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －m x<0的解集．【解析】 (1)∵B (2，－4)在y ＝m x上，∴m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝－8x.∵点A (－4，n )在y ＝－8x上，∴n ＝2. ∴A (－4,2)．∵y ＝kx ＋b 经过A (－4,2)，B (2，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2.∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.(2)∵A (－4,2)，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，方程kx ＋b －m x＝0的解是x 1＝－4，x 2＝2.(3)∵当y ＝0时，x ＝－2. ∴点C (－2,0)． ∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×4＋12×2×2＝6；(4)不等式kx ＋b －m x<0的解集为－4<x <0或x >2.7．童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．(1)求y 与x 之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ (3)①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3 910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3 910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？ 【解析】(1)y ＝100＋10(60－x )＝－10x ＋700. (2)设每星期的销售利润为W 元，W ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10(x －50)2＋4 000.∴当x ＝50时，W 最大＝4 000.∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润为4 000元．(3)①由题意得－10(x－50)2＋4 000＝3 910，解得x＝53或47，∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3 910元的利润．②由(1)知抛物线y＝－10(x－50)2＋4 000过点(53，3 910)，(47，3 910)，当y>3 910时，x的取值范围为47≤x≤53，∵y＝－10x＋700.∴170≤y≤230，∴每星期至少要销售该款童装170件．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大．求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．【解析】(1)由于抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，可设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，将点C(0，－4)代入得a(0＋1)(0－4)＝－4.解得a＝1，所求抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－4)，即y ＝x 2－3x －4. (2)存在．如解图①，取OC 的中点D (0，－2)，过D 作PD ⊥y 轴，交抛物线点P ，且点P 在第四象限，则点P 的纵坐标为－2，∴x 2－3x －4＝－2，解得x ＝3±172(负值舍去)，满足条件的P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋172，－2；(3)∵点B (4，0)，点C (0，－4)， ∴直线BC 的解析式为y ＝x －4， 设点P 的坐标为(t ，t 2－3t －4)，如解图②，过P 作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，则点Q 的坐标为(t ，t －4)， ∴|PQ |＝t －4－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ＝ －(t －2)2＋4，∴当t ＝2时，PQ 取最大值，最大值为4，∵S △PBC ＝S △PCQ ＋S △PBQ ＝12PQ ·x B ＝PQ ·4＝2PQ ，∴当PQ 最大时，S △PBC 最大，最大值为8. 此时点P 的坐标为(2，－6)．9．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t 小时，平均速度为v 千米/v (千米/小时) 75 80 85 90 95 t (小时)4.003.753.533.333.16(1) (2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由； (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间满足3.5≤t ≤4，求平均速度v 的取值范围． 【解析】 根据表格中数据，可知v ＝k t，∵v ＝75时，t ＝4， ∴k ＝75×4＝300， ∴v ＝300t.(2)∵10－7.5＝2.5，∴t ＝2.5时，v ＝3002.5＝120>100，∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． (3)∵3.5≤t ≤4， ∴75≤v ≤6007，答：平均速度v 的取值范围是75≤v ≤6007.10．A ，B 两地相距60 km ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l 1，l 2表示两人离A 地的距离s (km)与时间t (h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A 地的距离与时间关系的图象是__l 2__(填l 1或l 2)；甲的速度是__30__km/h ，乙的速度是__20__km/h ；(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km? 【解析】 由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30 km/h ，乙的速度是603＝20 km/h.(2)设甲出发x 小时两人恰好相距5 km.由题意，得30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5－5)＝60. 解得x ＝1.3或1.5.11．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为15～20 ℃的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y ( ℃)随时间x (h )变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求k 的值；(3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在15～20 ℃的时间有多少小时？【解析】 (1)恒温系统在这天保持大棚内温度20 ℃的时间为：12－2＝10(小时)；(2)把B (12,20)代入y ＝k x中得：k ＝12×20＝240；(3)设AD 的解析式为：y ＝mx ＋n 把(0,10)，(2,20)代入y ＝mx ＋n 中得：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，2m ＋n ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝10，∴AD 的解析式为：y ＝5x ＋10.当y ＝15时，15＝5x ＋10，x ＝1， 15＝240x ，x ＝24015＝16，∴16－1＝15.12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A (0，5)，与x 轴交于点E ，B .(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A ，E ，N ，M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M ，N 的坐标．【解析】（1）设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋9，∵抛物线与y 轴交于点A （0，5），∴4a ＋9＝5，∴a ＝－1，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5；（2）当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝5，∴E （－1，0），B （5，0）.（4分）设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，∵A （0，5），B （5，0），∴m ＝－1，n ＝5，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.设P （x ，－x 2＋4x ＋5），∴D （x ，－x ＋5），∴PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x .（5分）∵AC ∥x 轴，∴点A ，C 关于对称轴对称，AC ＝4.∵AC ⊥PD ，∴S 四边形APCD ＝12×AC ×PD ＝2（－x 2＋5x ）＝－2x 2＋10x ，∴当x ＝－102×（－2）＝52时，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，354时，S 四边形APCD 最大＝252；（3）如图，过M 作MH 垂直于对称轴，垂足为H .∵MN ∥AE ，MN ＝AE ，∴△HMN ≌△OEA ，∴HM ＝OE ＝1，∴M 点的横坐标为3或1.当横坐标1时，M 点纵坐标为8，当横坐标为3时，M 点纵坐标为8，∴M 点的坐标为M 1（1，8）或M 2（3，8）.（9分）∵A （0，5），E （－1，0），∴直线AE 的解析式为y ＝5x ＋5.∵MN ∥AE ，∴MN 的解析式为y ＝5x ＋b .∵点N 在抛物线对称轴x ＝2上，∴N （2，10＋b ）.∵AE 2＝OA 2＋OE 2＝26＝MN 2，∴MN 2＝（2－1）2＋[8－（10＋b ）]2＝1＋（b ＋2）2.∵M 点的坐标为M 1（1，8）或M 2（3，8），∴点M 1，M 2关于抛物线对称轴x ＝2对称.∵点N 在抛物线对称轴上，∴M 1N ＝M 2N .∴1＋（b ＋2）2＝26，∴b ＝3或b ＝－7，∴10＋b ＝13或10＋b ＝3.∴当M 点的坐标为（1，8）时，N 点坐标为（2，13），当M 点的坐标为（3，8）时，N 点坐标为（2，3）.。