3．1变化率与导数（教学设计）（3）3．1．3导数的几何意义教学目标：知识与技能目标：通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用。

过程与方法目标：培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯。

情感、态度与价值观目标：渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发展、探索知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程：一、复习回顾：导数的概念： 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:000()()limlimx x f x x f x f xx∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-二．创设情景，新课引入：（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？三．师生互动，新课讲解：（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n P P 的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n P P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n P P 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n P P 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。

例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）22210[(1)1](11)2|limlim2x x x x x xy x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlimlim 3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= 例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x x x x xy ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(220(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x yx x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例3（课本P77例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2()4.96.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例4（课本P78例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：m in ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.9，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--所以 (0.8)1.f '≈-课堂练习1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x xx f x f xy ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为42、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t t t v t t v t Vo o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为2t 0四．课堂小结，巩固反思： 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 五．布置作业 A 组： 1、（课本P79习题3.1A 组 NO ：5） 2、（课本P79习题3.1A 组 NO ：6）3、(tb11502101)函数y=f(x)在x=x 0年的导数f ’（x 0）的几何意义是（ C ） （A ）在点x=x 0处的函数值；（B ）在点(x 0,f(x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值 （C ）曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))年的切线的斜率 （D ）点(x 0,f(x 0))与点（0，0）连线的斜率 B 组： 1、（课本P79习题3.1B 组 NO ：2）2、已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。

分析：f(x)在x=2处的切线的斜率就是f ’(2)。

解：xx xf x f xy ∆-∆+=∆-∆+=∆∆22)2()2()22()22)(22(+∆+∆+∆+-∆+=x x x x=221+∆+x所以：f ’(2)=42221)221(lim 0==+∆+→∆x x 所以，函数f(x)在x=2年的切线的斜率为：42所以所求的切线方程：y-2=42(x-2)即：42x-y+22=03、（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x xy x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlimlim 3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=4、求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x xy ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(22(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x xx→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆。