最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案第一讲一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四小选项中,只有一项是符合题目要求的).1.原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-2,-23)的极坐标是( ) A .⎝⎛⎭⎫4,π3 B .⎝⎛⎭⎫4,4π3 C .⎝⎛⎭⎫-4,-2π3 D .⎝⎛⎭⎫4,2π3 解析: 由直角坐标与极坐标互化公式: ρ2=x 2+y 2,tan θ=yx(x ≠0).把点(-2,-23)代入即可得ρ=4,tan θ=3, 因为点(-2,-23)在第三象限,所以θ=4π3.答案: B2.在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程;②tan θ=1与θ=π4表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.在这三个结论中正确的是( )A .①③B .①C .②③D .③ 解析: 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程,故①是错误的;tan θ=1不仅表示θ=π4这条射线,还表示θ=5π4这条射线,故②亦不对;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故③正确.答案: D3.可以将椭圆x 210+y 28=1变为圆x 2+y 2=4的伸缩变换( )A .⎩⎨⎧5x ′=2x 2y ′=yB .⎩⎨⎧2x ′=5x y ′=2yC .⎩⎨⎧2x ′=x5y ′=2xD .⎩⎨⎧5x ′=2x2y ′=y解析: 方法一:将椭圆方程x 210+y 28=1化为2x 25+y 22=4,∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52+⎝⎛⎭⎫y 22=4, 令⎩⎪⎨⎪⎧x ′=25x ,y ′=y2,得x ′2+y ′2=4,即x 2+y 2=4,∴伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧5x ′=2x ,2y ′=y 为所求.方法二:将x 2+y 2=4改写为x ′2+y ′2=4,设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0),代入x ′2+y ′2=4得λ2x 2+μ2y 2=4, 即λ2x 24+μ2y 24=1,与椭圆x 210+y 28=1比较系数得⎩⎨⎧ λ24=110,μ24=18,解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ=25,μ=12,∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′=25x ,y ′=12y ,即⎩⎪⎨⎪⎧5x ′=2x ,2y ′=y. 答案: D4.极坐标方程4ρsin 2θ2=5表示的曲线是( )A .圆B .椭圆C .双曲线的一支D .抛物线解析: 若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线,因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程,加以研究.4ρ·sin 2θ2=4ρ·1-cos θ2=2ρ-2ρcos θ=5,化为直角坐标方程:2x 2+y 2-2x =5,化简,得y 2=5x +254.故该方程表示抛物线. 答案: D5.在极坐标方程中,曲线C 的方程是ρ=4sin θ,过点⎝⎛⎭⎫4,π6作曲线C 的切线,则切线长为( )A .4B .7C .2 2D .23解析: ρ=4sin θ化为普通方程为x 2+(y -2)2=4,点⎝⎛⎭⎫4,π6化为直角坐标为(23,2),切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理:切线长为(23)2+(2-2)2-22=2 2. 答案: C6.已知点P 的坐标为(1,π),则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A .ρ=1 B .ρ=cos θ C .ρ=-1cos θD .ρ=1cos θ解析: 由点P 的坐标可知,过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x =-1,即ρcos θ=-1,故选C .答案: C7.圆ρ=4cos θ的圆心到直线tan θ=1的距离为( ) A .22B .2C .2D .22解析: 圆ρ=4cos θ的圆心C (2,0),如图所示,|OC |=2,在Rt △COD 中,∠ODC =π2,∠COD =π4,∴|CD |= 2. 答案: B8.在极坐标中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程为( ) A .ρsin θ=2 B .ρcos θ=2 C .ρcos θ=4D .ρcos θ=-4解析: 圆ρ=4sin θ的圆心为⎝⎛⎭⎫2,π2,半径为r =2, 对于选项A ,方程ρsin θ=2对应的直线y =2,与圆相交; 对于选项B ,方程ρcos θ=2对应的直线x =2,与圆相切; 选项C ,D 对应的直线与圆相离. 答案: B9.圆ρ=r 与圆ρ=-2r sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4(r >0)的公共弦所在直线的方程为( ) A .2ρ(sin θ+cos θ)=r B .2ρ(sin θ+cos θ)=-r C .2ρ(sin θ+cos θ)=rD .2ρ(sin θ+cos θ)=-r解析: 圆ρ=r 的直角坐标方程为x 2+y 2=r 2① 圆ρ=-2r sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4 =-2r ⎝⎛⎭⎫sin θcos π4+cos θsin π4=-2r (sin θ+cos θ). 两边同乘以ρ得ρ2=-2r (ρsin θ+ρcos θ), ∵x =ρcos θ,y =ρsin θ,ρ2=x 2+y 2, ∴x 2+y 2+2rx +2ry =0② ①-②整理得2(x +y )=-r , 即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线2(x +y )=-r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ+sin θ)=-r . 答案: D10.极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎫1,π2的最近距离等于( )A .2-1B .5-1C .1D .2解析: 将曲线ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x -1)2+y 2=1,点Q 的直角坐标为(0,1),则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径,即2-1.答案: A二、填空题(每小题5分,共20分.把正确答案填在题中的横线上)11.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=π3,ρcos θ+ρsin θ=1围成图形的面积是________.解析: 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y =0,y =3x ,x +y =1.如图可知, S △POQ =12×|OQ |×|y p |=12×1×33+1=3-34. 答案:3-3412.已知极坐标系中,极点为O ,将点A ⎝⎛⎭⎫4,π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ,且|OA |=|OB |,则点B 的直角坐标 ________.解析: 依题意,点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4,5π12, ∵cos5π12=cos ⎝⎛⎭⎫π4+π6 =cos π4cos π6-sin π4sin π6=22×32-22×12=6-24,sin5π12=sin ⎝⎛⎭⎫π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=22×32+22×12=6+24, ∴x =ρcos θ=4×6-24=6-2,y =ρsin θ=4×6+24=6+ 2. ∴点B 的直角坐标为(6-2,6+2). 答案: (6-2,6+2)13.从极点作圆ρ=2a cos θ的弦,则各条弦中点的轨迹方程为 ________.解析: 数形结合,易知所求轨迹是以⎝⎛⎭⎫a 2,0为圆心,a2为半径的圆.求得方程是ρ=a cos θ⎝⎛⎭⎫-π2≤θ≤π2. 答案: ρ=a cos θ⎝⎛⎭⎫-π2≤θ≤π2 14.点A 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫-332,92,3,则它的球坐标为 ________.解析: r =⎝⎛⎭⎫3322+⎝⎛⎭⎫922+32=6. cos φ=36=12,∴φ=π3.tan θ=92332=3,∴θ=π3,∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫6,π3,π3. 答案: ⎝⎛⎭⎫6,π3,π3 三、解答题(本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ,由点O 向直线l 作垂线,由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示).求直线l 的极坐标方程.解析: 在直线l 上任取一点M (ρ,θ).在直角三角形OMA 中, 由三角知识得ρcos(α-θ)=d ,即ρ=dcos (α-θ).这就是直线l 的极坐标方程.16.(12分)在平面直角坐标系中,已知点A (3,0),P 是圆x 2+y 2=1上的一个动点,且∠AOP 的平分线交P A 于Q 点,求Q 点的轨迹的极坐标方程.解析: 以圆心O 为极点,x 轴正半轴为轴建立坐标系, 设Q (ρ,θ),P (1,2θ). 因为S △OAQ +S △OQP =S △OAP ,所以12·3ρ·sin θ+12ρ·sin θ=12×3×1×sin2θ.整理得ρ=32cos θ.17.(12分)已知⊙C :ρ=cos θ+sin θ,直线l :ρ=22cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.解析: ⊙C 的直角坐标方程是x 2+y 2-x -y =0, 即⎝⎛⎭⎫x -122+⎝⎛⎭⎫y -122=12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=4, 所以直线l 的直角坐标方程为x -y -4=0.设M ⎝⎛⎭⎫12+22cos θ,12+22sin θ为⊙C 上任意一点,M 点到直线l 的距离d =⎪⎪⎪⎪12+22cos θ-⎝⎛⎭⎫12+22sin θ-42=4-cos ⎝⎛⎭⎫θ+π42,当θ=7π4时,d min =32=322.18.(14分)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=1,M ,N 分别为C 与x 轴,y 轴的交点. (1)写出C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标; (2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程. 解析: (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π3=1, 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ+32sin θ=1.从而C 的直角坐标方程为12x +32y =1,即x +3y =2.当θ=0时,ρ=2,得M (2,0); 当θ=π2时,ρ=233,得N ⎝⎛⎭⎫233,π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0,233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1,33, 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233,π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ=π6,ρ∈R .第二讲一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.极坐标方程ρ=cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =-1-ty =2+3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A .圆、直线B .直线、圆C .圆、圆D .直线、直线解析: ∵ρ=cos θ,∴x 2+y 2=x ,∴表示一个圆.由⎩⎪⎨⎪⎧x =-1-ty =2+3t得到直线3x +y =-1. 答案: A2.直线⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+t ,y =1-t(t 为参数)被圆(x -3)2+(y +1)2=25所截得的弦长为( )A .7 2B .4014C .82D .93+43解析: ⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+t ,y =1-t⇒⎩⎨⎧x =-2+22·2t ,y =1-22·2t ,令t ′=2t ,把⎩⎨⎧x =-2+22t ′,y =1-22t ′代入(x -3)2+(y +1)2=25. 整理,得t ′2-72t ′+4=0, |t ′1-t ′2|=(t ′1+t ′2)2-4t ′1t ′2=82. 答案: C3.点集M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θy =3sin θ(θ是参数,0<θ<π),N ={(x ,y )|y =x +b },若M ∩N ≠∅,则b 满足( )A .-32≤b ≤3 2B .-3<b <32C .0≤b ≤3 2D .-3<b ≤32解析: 用数形结合法解. 答案: D4.已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2,且AP→=λPB →(λ≠-1),则点P 所对应的参数为( )A .t 1+t 22B .t 1+t 21+λC .t 1+λt 21+λD .t 2+λt 11+λ答案: C5.已知集合A ={(x ,y )|(x -1)2+y 2=1},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪y x ·y x -2=-1, C =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(ρ,θ)⎪⎪ρ=2cos θ,θ≠k π4,k ∈Z , D =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θy =sin θ,θ≠k π,k ∈Z , 下列等式成立的是( ) A .A =B B .B =D C .A =CD .B =C解析: 集合B 与D 都是曲线(x -1)2+y 2=1(x ≠0,x ≠2). 答案: B6.已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x =r (cos φ+φsin φ)y =r (sin φ-φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为( )A .πB .3πC .4πD .9π解析: 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3=r (cos φ+φsin φ), ①0=r (sin φ-φcos φ). ② ①×cos φ+②×sin φ得r =3, 所以基圆的面积为9π. 答案: D7.过抛物线⎩⎨⎧x =2t 2,y =3t(t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为( )A .π3B .π3或2π3C .π6D .π6或5π6解析: 将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2=32x ,它的焦点为⎝⎛⎭⎫38,0.设弦所在直线的方程为y =k ⎝⎛⎭⎫x -38,由⎩⎨⎧y 2=32x ,y =k ⎝⎛⎭⎫x -38,消去y ,得64k 2x 2-48(k 2+2)x +9k 2=0,设弦的两端点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫34·k 2+2k 22-916=2 解得k =± 3.故倾斜角为π3或2π3答案: B8.下列双曲线中,与双曲线⎩⎨⎧x =3sec θy =tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A .y 23-x 29=1B .y 23-x 29=-1C .y 23-x 2=1D .y 23-x 2=-1解析: 双曲线的普通方程为x 23-y 21=1离心率为23=233,渐近线为y =±33xB 中y 23-x 29=-1即x 29-y 23=1其离心率为233,渐近线为y =33x , 故与原双曲线的离心率及渐近线相同. 答案: B9.已知点P 在椭圆x 2+8y 2=8上,且P 到直线l :x -y +4=0的距离最小,则P 点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎫-83,13 B .⎝⎛⎭⎫13,83C .(0,±1)D .(±22,0)解析: 设⎩⎪⎨⎪⎧x =1+5cos θy =-2+5sin θ(θ为参数)取x -2y =1+5cos θ+4-25sin θ =5+5cos θ-25sin θ =5+5sin(θ-φ). 故最大值为10. 答案: B10.已知直线l :⎩⎨⎧x =3t ,y =2-t(t 为参数),抛物线C 的方程y 2=2x ,l 与C 交于P 1,P 2,则点A (0,2)到P 1,P 2两点距离之和是( )A .4+ 3B .2(2+3)C .4(2+3)D .8+3解析:把直线参数方程化为⎩⎨⎧x =-32t ′,y =2+12t ′(t ′为参数),代入y 2=2x ,求得t ′1+t ′2=-4(2+3),t ′1t ′2=16>0,知在l 上两点P 1,P 2都在A (0,2)的下方, 则|AP 1|+|AP 2|=|t ′1|+|t ′2| =|t ′1+t ′2|=4(2+3). 答案: C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 11.如图所示,齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧.已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ,则此渐开线的参数方程为________.答案: ⎩⎨⎧x =2252(cos t +t sin t )y =2252(sin t -t cos t )(t 为参数)12.在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y =sin θ+1,x =cos θ(θ是参数),以O为极点,x 轴的正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程可写为________.解析: 由题意知,曲线C : x 2+(y -1)2=1, 即x 2+y 2-2y =0,所以(ρcos θ)2+(ρsin θ)2-2ρsin θ=0, 化简得ρ=2sin θ. 答案: ρ=2sin θ13.点M (x ,y )在椭圆x 212+y 24=1上,则点M 到直线x +y -4=0的距离的最大值为________,此时点M 的坐标是________.解析: 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =23cos θ,y =2sin θ(θ为参数),则点M (23cos θ,2sin θ)到直线 x +y -4=0的距离 d =|23cos θ+2sin θ-4|2=⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ+π3-42.当θ+π3=32π时,d max =42,此时M (-3,-1). 答案: 42 (-3,-1)14.若曲线y 2=4x 与直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2t cos αy =-4+t cos β(t 为参数)相切,则cos αcos β=________.解析: ∵⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2t cos αy =-4+t cos β,∴x -2y +4=2cos αcos β=2m ,其中m =cos αcos β,∴x =2+2my +8m ,代入y 2=4x , 得y 2=4(2+2my +8m ), y 2-8my -8-32m =0. ∵直线与曲线相切,∴Δ=(-8m )2-4×(-8-32m ) =64m 2+4×8(1+4m )=0, 2m 2+4m +1=0,∴(m +1)2=12,m =-1±22,∴cos αcos β=-1±22. 答案: -1±22三、解答题(本大题共4题,共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x =22t +m y =22t(t 是参数).(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且|AB |=14,试求实数m 的值. 解析: (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0, 直线l 的直角坐标方程为y =x -m (2)m =1或m =316.(12分)求椭圆4x 2+y 2-8x cos θ-4y sin 2θ-sin 22θ=0中心的轨迹方程(θ为参数),并证明无论θ取何值,椭圆的大小、形状保持不变.解析: 椭圆方程可化为4(x -cos θ)2+(y -2sin 2θ)2=4, 即(x -cos θ)2+(y -2sin 2θ)24=1, 故椭圆中心的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =2sin 2θ,消去θ得y =2-2x 2(|x |≤1). 对于所给椭圆无论θ如何变化,它的长轴长始终为4,短轴长为2,离心率32. 因此椭圆的大小形状保持不变.17.(12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=364cos 2θ+9sin 2θ;(1)若以极点为原点,极轴所在的直线为x 轴,求曲线C 的直角坐标方程; (2)若P (x ,y )是曲线C 上的一个动点,求x +2y 的最大值. 解析: (1)曲线的极坐标方程ρ2=364cos 2θ+9sin 2θ, 即4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36, ∴4x 2+9y 2=36, ∴x 29+y 24=1. (2)设P (3cos θ,2sin θ),则x +2y =3cos θ+4sin θ=5sin(θ+φ), ∵θ∈R ,∴当sin(θ+φ)=1时,x +2y 的最大值为5.18. (14分)如图所示,设矩形ABCD 的顶点C ,坐标为(4,4),点A 在圆x 2+y 2=9(x ≥0,y ≥0)上移动,且AB ,AD 两边分别平行于x 轴,y 轴,求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标.解析: 设A (3cos θ,3sin θ)(0<θ<90°) 则|AB |=4-3cos θ,|AD |=4-3sin θ S =|AB |·|AD |=(4-3cos θ)(4-3sin θ) =16-12(cos θ+sin θ)+9cos θ·sin θ. 令t =cos θ+sin θ(1≤t ≤2), 则2cos θ·sin θ=t 2-1∴S =16-12t +92(t 2-1)=92t 2-12t +232=92⎝⎛⎭⎫t -432+72∴t =43时,矩形ABCD 的面积S 取得最小值72.此时⎩⎨⎧ cos θ+sin θ=43,cos θ·sin θ=718,解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ=4±26sin θ=4∓26∴对应A 坐标为⎝⎛⎭⎫2+22,2+22或⎝⎛⎭⎫2-22,2+22.模块综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列有关坐标系的说法,错误的是() A .在直角坐标系中,通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B .在直角坐标系中,平移变换不会改变图形的形状和大小 C .任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D .同一条曲线可以有不同的参数方程解析: 直角坐标系是最基本的坐标系,在直角坐标系中,伸缩变形可以改变图形的形状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到,例如圆可以变成椭圆;而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置;对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方程的,同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程.答案: C2.把函数y =12sin2x 的图象经过________变化,可以得到函数y =14sin x 的图象.( )A .横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标伸长为原来的2倍B .横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍C .横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标缩短为原来的12倍D .横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的12解析: 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤可知,把函数y =12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y =12sin x 的图象,再把纵坐标缩短为原来的12,得到y =14sin x 的图象. 答案: D3.极坐标方程ρ2-ρ(2+sin θ)+2sin θ=0表示的图形是( ) A .一个圆与一条直线 B .一个圆 C .两个圆D .两条直线解析: 所给方程可以化为(ρ-2)(ρ-sin θ)=0,即ρ=2或ρ=sin θ.化成直角坐标方程分别为x 2+y 2=4和x 2+y 2-y =0,可知分别表示两个圆.答案: C4.在极坐标系中,如果一个圆方程是ρ=4cos θ+6sin θ,那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )A .ρsin θ=3B .ρsin θ=-3C .ρcos θ=2D .ρcos θ=-2答案: A5.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2θy =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A .y =x -2B .y =x +2C .y =x -2(2≤x ≤3)D .y =x +2(0≤y ≤1)解析: 由⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2θy =sin 2θ知x =2+y (2≤x ≤3)所以y =x -2 (2≤x ≤3). 答案: C6.经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线,以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A .⎩⎨⎧ x =1+12t y =5-32tB .⎩⎨⎧ x =1-12t y =5+32tC .⎩⎨⎧x =1-12ty =5-32tD .⎩⎨⎧ x =1+12ty =5+32t解析: 根据直线参数方程的定义,易得⎩⎨⎧x =1+t ·cosπ3y =5+t ·sin π3,即⎩⎨⎧x =1+12ty =5+32t .答案: D 7.x 2+y 2=1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2xy ′=3x ,后所得图形的焦距( )A .4B .213C .2 5D .6解析: 变换后方程变为:x 24+y 29=1,故c 2=a 2-b 2=9-4=5,c =5, 所以焦距为2 5. 答案: C8.已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2-t sin30°y =-1+t sin30°(t 为参数)与圆x 2+y 2=8相交于B 、C 两点,则|BC |的值为( )A .27B .30C .7 2D .302解析: ⎩⎪⎨⎪⎧x =2-t sin30°y =-1+t sin30°⇒⎩⎨⎧x =2-12t =2-22t ′y =-1+12t =-1+22t (t ′为参数).代入x 2+y 2=8,得t ′2-32t ′-3=0, ∴|BC |=|t ′1-t ′2|=(t ′1+t ′2)2-4t ′1t ′2=(32)2+4×3=30,故选B .答案: B9.已知P 点的柱坐标是⎝⎛⎭⎫2,π4,1,点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎫1,π2,π4,根据空间坐标系中两点A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2)之间的距离公式|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(z 1-z 2)2,可知P 、Q 之间的距离为( )A . 3B .2C . 5D .22解析: 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系,把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2,2,1),再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎫22,22,0,代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案: B10.如果直线ρ=1cos θ-2sin θ与直线l 关于极轴对称,则直线l 的极坐标方程是( )A .ρ=1cos θ+2sin θB .ρ=12sin θ-con θC .ρ=12cos θ+sin θD .ρ=12cos θ-sin θ解析: 由ρ=1cos θ+2sin θ知ρcos θ+2ρsin θ=1,∴x +2y =1. 答案: C11.圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x =2(cos φ+4sin φ),y =2(sin φ-4cos φ).(φ为参数)B .⎩⎪⎨⎪⎧x =4(cos θ+θsin θ),y =4(sin θ-θcos θ).(θ为参数)C .⎩⎪⎨⎪⎧ x =2(φ-sin φ),y =2(1-cos φ).(φ为参数)D .⎩⎪⎨⎪⎧x =4(θ-sin θ),y =4(1-cos θ).(θ为参数)解析: 圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2(cos φ+φsin φ),y =2(sin φ-φcos φ).(φ为参数).答案: A12.如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界),A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点.若点P (x ,y )、点P ′(x ′,y ′)满足x ≤x ′,且y ≥y ′,则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足:不存在Ω中的其他点优于Q ,那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A .AB B .BC C .CDD .DA解析: ∵x ≤x ′且y ≥y ′,∴点P (x ,y )在点P ′(x ′,y ′)的左上方. ∵Ω中不存在优于Q 的点,∴点Q 组成的集合是劣弧AD ,故选D . 答案: D二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在题中横线上)13.已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=22,则极点到该直线的距离是________ 解析: 对于求一点到一条直线的距离问题,我们联想到的是直角坐标系中的距离公式,因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法,这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程.极点的直角坐标为O (0,0),ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ+22cos θ=22,∴ρsin θ+ρcos θ=1,化为直角坐标方程为x +y -1=0. ∴点O (0,0)到直线x +y -1=0的距离为d =12=22, 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=22的距离为22. 答案:2214.直线⎩⎪⎨⎪⎧ x =t cos α,y =t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x =4+2cos φ,y =2sin φ(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=________.解析: 直线:y =x ·tan α,圆:(x -4)2+y 2=4,如图,sin α=24=12,∴α=π6或56π.答案: π6或56π.15.已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =1+2t (t 为参数),若以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=22sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4.则圆的直角坐标方程为__________,直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离).解析: (1)消去参数t ,得直线l 的普通方程为y =2x +1.ρ=22sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4即ρ=2(sin θ+cos θ),两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ),消去参数θ,得⊙C 的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2.(2)圆心C 到直线l 的距离d =|2-1+1|22+12=255<2,所以直线l 和⊙C 相交.答案: (x -1)2+(y -1)2=2;相交16.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t +3,y =3-t (参数t ∈R ),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θy =2sin θ+2(参数θ∈[0,2π]),则圆C 的圆心坐标为______,圆心到直线l 的距离为______.解析: 直线和圆的方程分别是x +y -6=0,x 2+(y -2)2=22,所以圆心为(0,2),其到直线的距离为d =|0+2-6|1+1=2 2.答案: (0,2) 22三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)(1)化ρ=cos θ-2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状; (2)化曲线F 的直角坐标方程:x 2+y 2-5x 2+y 2-5x =0为极坐标方程. 解析: (1)ρ=cos θ-2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2=ρcos θ-2ρsin θ ∴x 2+y 2=x -2y 即x 2+y 2-x +2y =0 即⎝⎛⎭⎫x -122+(y +1)2=⎝⎛⎭⎫522 表示的是以⎝⎛⎭⎫12,-1为圆心,半径为52的圆. (2)由x =ρcos θ,y =ρsin θ得 x 2+y 2-5x 2+y 2-5x =0的极坐标方程为:ρ2-5ρ-5ρcos θ=0.18.(12分)在极坐标系中,已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫3,π9,半径为1.Q 点在圆周上运动,O 为极点.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若P 在直线OQ 上运动,且满足OQ QP =23,求动点P 的轨迹方程.解析: (1)设M (ρ,θ)为圆C 上任意一点,如图,在△OCM 中,|OC |=3,|OM |=ρ,|CM |=1,∠COM =⎪⎪⎪⎪θ-π6,根据余弦定理,得1=ρ2+9-2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪θ-π6,化简整理,得ρ2-6· ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π6+8=0为圆C 的轨迹方程. (2)设Q (ρ1,θ1),则有ρ21-6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1-π6+8=0① 设P (ρ,θ),则OQ ∶QP =ρ1∶(ρ-ρ1) =2∶3⇒ρ1=25ρ,又θ1=θ,即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1=25ρ,θ1=θ,代入①得425ρ2-6·25ρcos(θ-π6)+8=0,整理得ρ2-15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-5π6+50=0为P 点的轨迹方程. 19.(12分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2=123cos 2θ+4sin 2θ,点F 1,F 2为其左,右焦点,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+22t ,y =22t(t 为参数,t ∈R ).(1)求直线l 和曲线C 的普通方程; (2)求点F 1,F 2到直线l 的距离之和. 解析: (1)直线l 的普通方程为y =x -2;曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1.(2)∵F 1(-1,0),F 2(1,0),∴点F 1到直线l 的距离d 1=|-1-0-2|2=322.点F 2到直线l 的距离d 2=|1-0-2|2=22,∴d 1+d 2=2 2.20.(12分)已知直线l 过点P (2,0),斜率为43,直线l 与抛物线y 2=2x 相交于A ,B 两点,设线段AB 的中点为M .(1)求P 、M 两点间的距离; (2)求M 点的坐标; (3)求线段AB 的长|AB |.解析: (1)∵直线l 过点P (2,0),斜率为43,设倾斜角为α,tan α=43,cos α=35,sin α=45,∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+35ty =45t(t 为参数),∵直线l 与抛物线相交,把直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2=2x ,整理得8t 2-15t -50=0,设这个方程的两个根为t 1、t 2,则t 1+t 2=158,t 1·t 2=-254.由M 为线段AB 的中点,根据t 的几何意义, 得|PM |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1+t 22=1516. (2)由(1)知,中点M 所对参数为t M =1516,代入直线的参数方程,M 点的坐标为⎩⎨⎧x =2+35×1516=4116y =45×1516=34,即M ⎝⎛⎭⎫4116,34.。