若u()可微，一阶条件是
p u ( x )
*
3.E.2 3.E.3
x * [ p u ( x * )] 0
UMP与EMP是对偶问题
命题3.E.1 假设u()是一个连续效用函数，代表定义在 消费集X上的局部非饱和偏好关系，且价格向量p>0， 则有： 1.如果当财富水平w>0时，x*在UMP中最优，那么当 要求效用水平为u(x*)时，x*在EMP中也是最优的。且 在这一EMP中的最小支出水平是w，即
定义1.B.8 如果： 1.任一无差异集都是其他无差异集沿商品1坐标轴的 水平位移，即若x~y，则对于e1 (1,0,,0) 及任意 R，均有 ( x e1 ) ~ ( y e1 )
2. 商品1是合意的，即对所有x和α>0，有 x e1 x 则称X上偏好关系对于商品1（称为本位商品）是拟 线性的。
Non-Convex Preferences
x2 z y2 x1 y1
The mixture z is less preferred than x or y.
More Non-Convex Preferences
x2 z y2 x1 y1
The mixture z is less preferred than x or y.
u ( x* ) / xl pl u ( x* ) / xk pk
3.D.4
3.D.5
* x 任何 x( p, w) 都必须满足条件(3.D.2)和(3.D.3)。 （即一阶条件是必要条件）
如果u()是拟凹的和单调的，则一阶条件就是充分条件 。即满足(3.D.2)和(3.D.3)的x是UMP的最优解。
v( p, w) u( x( p, w)) R
是(p,w)的函数，称为间接效用函数。 命题3.D.3 假设u()是连续效用函数，代表定义在消费 集X上的局部非饱和偏好关系，则间接效用函数v(p,w) 是： 1.零次齐次的； 2.在w上严格递增，且对于任意l，在pl上非递增； 3.拟凸； 4.在p和w上连续。
Well-Behaved Preferences -Convexity.
x2 x
y2 x1
Preferences are strictly convex when all mixtures z are strictly z preferred to their component bundles x and y. y
一阶条件中的Khun-Tucker乘子λ 表示最优点上消费者 财富的边际效用价值。财富的边际增加导致的效用 变化为
u ( x( p, w)) u ( x( p, w)) Dw x( p, w) w p Dw x( p, w)
例3.D.1 从C-D效用函数导出需求函数。L=2时，C-D 效用函数为 u( x1, x2 ) Ax1 x1 UMP问题是 2 , A 0, (0,1)
定义1.B.6 如果对于每个x，均有，对于任意
(0,1), y x, z x, y z y (1 ) z x
则称X上的偏好关系是严格凸的。 定义1.B.7 如果所有无差异集均通过射线的等比例 扩展联系在一起：即，若x~y，则对所有α≥0均 有αx~αy，则称 X RL上的单调偏好关系是位似 的。
UMP的KT条件
u ( x) p, 0 x (u ( x) p) 0
3.D.2 3.D.3
命题3.D.2 假定u()是一个连续效用函数，代表定义在 X上的局部非饱和偏好关系，则瓦尔拉斯需求对应 X(p,w)具有下述性质： 1. 在(p,w)上具有零次齐次性； 2. 瓦尔拉斯定律 3. 凸性/惟一性。
max u ( x) s.t. p x w x0
命题3.D.1 若p>0，且u(x)连续，则效用最大化问题 一定有解。 因此我们要研究： UMP问题的最优解（瓦尔拉斯需求）和最优值（最大 效用）的求法及各项性质。
Rational Constrained Choice
x2 (x1*,x2*) is the most preferred affordable bundle.
max ln x1 (1 ) ln x2 s.t. p1 x1 p2 x2 w
3.D.6
一阶条件
x1 p11 p2 x2解得x1 ( p, w)
w
p1
, x2 ( p, w)
(1 ) w p2
习题3.D.1 证明上面导出的瓦尔拉斯需求函数满足 命题3.D.2中的三个性质。 关于x(p,w)的比较静态分析（财富效应、价格效应） ，与前面类似。例题中的瓦尔拉斯需求的财富效应 和价格效应。
合意性假设
y 定义3.B.2 若x∈X， x y x
则称X上的偏好关系是单调的。如果
y x, y x y x
则它是严格单调的。
定义1.B.4 如果对于每个x∈X和ε>0，存在y∈X, 使得 y x ，且 y x ，则称X上的偏好关系 是局部非饱和的。 习题 证明下述结论： 1.如果≥是严格单调的，则它是单调的； 2.如果≥是单调的，则它是局部非饱和的。
例 产品税和所得税 对追求效用最大化的消费者征税。对物品1征收销售税 后，预算约束为 ( p1 t ) x1 p2 x2 w 。所得税收为tx*。 若对收入征收同样的税收。预算约束为
* p1 x1 p2 x2 w tx1
间接效用函数－最优值函数
对于每个(p,w)>0，UMP的效用值表示为
列昂剔夫效用函数 u( x1 , x2 ) min{x1 , x2}
作业

3.C.1, 3.C.6
3.D 效用最大化问题
假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏 好关系，u(x)是代表偏好关系的一个连续效用 L 函数。假定消费集为 X R
消费者在给定价格p>0和财富w>0下选择她最偏好的 消费束，可以表示成效用最大化问题(UMP)
给定偏好关系和消费束x，三个相关的集合： x的无差异集
{ y X | y ~ x}
x的上等值集
{ y X | y x} { y X | x y}
x的下等值集
Weakly Preferred Set (弱偏好 集)
x2
WP(x), the set of x bundles weakly preferred to x.
如果u()连续可微，最优解 x* x( p, w) 的一阶条件（KT） 是：（必要？充分？）
u ( x* ) pl , l 1, , L xl u ( x* ) if x 0, then pl xl
* l
3.D.1
u( x* ) p 内点最优： 边际替代率等于边际交换率。
y1
Well-Behaved Preferences -Weak Convexity.
x’
z’ x
z
y y’
Preferences are weakly convex if at least one mixture z is equally preferred to a component bundle.
( x, u ) f ( x ) u T g ( x )
KT条件
(KT)
f x ( x) u T g x ( x) 0 g ( x) 0, u 0 u T g ( x) 0
Khun-Tucker定理： 若x*是(P)的最优解，且约束规格成立，则一定存在 u*，使得(x*,u*)是KT问题的解； 若(x*,u*)是KT问题的解，且(P)为凸规划，则x*是 (P)的最优解。
第三章 经典需求理论
3.A 引言
本章研究经典的、基于偏好法的消费者需 求理论。 效用函数存在性 效用最大化问题 支出最小化问题 这是一对对偶问题，两者之间的关系。
3.B 偏好关系：基本性质


理性偏好 合意性假设：单调、严格单调、局部非 饱和 凸性假设
偏好关系：基本性质


合意性假设。假定大数量的商品优于小 数量的商品。首先假定X无上界。 凸性假设。消费者在不同商品之间愿意 进行的取舍。
I(x)
I(x’)
x1
凸性假设
定义1.B.5 若对于每个x∈X，上等值集 { y X | y x} 是凸的；也就是若y≥x,z≥x，
就有对任意
[0,1],y (1 ) z x
则称X上的偏好关系是凸的。
边际替代率递减：在凸偏好的情况下，从任意一个初始消费 x开始，对任意两种商品而言，为补偿其中一种商品的单位逐 次减少，所需的另一种商品的数量不断增大。
0, u(x) u( x)
2. 一个连续≥，当切仅当它容许一个形如 u( x) x1 ( x2 ,, xL ) 的效用函数时，它对第1种商品
是拟线性的。
常见的效用函数
1 x2 C-D型效用函数 u( x1 , x2 ) x1
1/ ) CES型效用函数 u( x1, x2 ) ( x1 x2
注意：间接效用函数依赖于被选中的效用函数形式。 例3.D.2 效用函数 u( x1 , x2 ) ln x1 (1 ) ln x2
习题
某消费者具有如下形式的效应函数
u( x1, x2 ) u( x1 ) x2
其中物品1是一个离散的物品，其可能的消费水平是
x1 0 or x1 1 假设u(0)=0，p2=1 该消费者具有何种类型的偏好；价格p1低于何种水平 时，消费者才会明确选择x1=1；其相关的间接效应 函数的代表形式是什么？
命题3.C.1 假设X上的理性偏好关系≥是连续的， 则存在一个代表它的连续效用函数。 偏好关系≥理性、连续，则存在连续的效用函数； 偏好关系≥单调，则效用函数递增； 偏好关系≥凸，则效用函数拟凹。