习题2.11.设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=1,2,N求常数a.N解:由分布律的性质沫皿瑶=1得P(X=1)申(X=2) + …P+X=N) =1N* =1,即a=1NI2.设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为一，一一—,求常数C.花亡4c 5c l&c解:- ---- ------------ :2c 4c Sc 1.6c37C ~3•将一枚骰子连掷两次，以X表示两次所得的点数之和,以丫表示两次出现的最小点数，分别求X,丫的分布律.注：可知X为从2到12的所有整数值.可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36 ，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36( 第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36 )= 1/18(两种组合(1,2)(2,1))P(X=4)=3*(1/36 )= 1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))P(X=5)=4*(1/36 )= 1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))P(X=6)=5*(1/36 = 5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))P(X=7)=6*(1/36) = 1/6(这里就不写了，应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36) = 5/36P(X=9)=4*(1/36) = 1/9P(X=10)=3*(1/36) = 1/12P(X=11)=2*(1/36) = 1/18P(X=12)=1*(1/36) = 1/36以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数，即丫的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值一个是2,另一个是大于等于2的5个值 一个是3,另一个是大于等于3的4个值 一个是4,另一个是大于等于4的3个值 一个是5,另一个是大于等于5的2个值 一个是6,另一个只能是6P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12 P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18 P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36以上是Y 的分布律了 .4. 设在15个同类型的零件中有2个是次品，从中任取3次，每次取一个，取后不放回.以X 表示取出的次品的个数，求X 的分布律. 解 :X=0,1,225.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为-,连续抛掷8次，以X 表示出现正面的次数，求X 3'的分布律.6.设离散型随机变量X 的分布律为 X -12 3P1 1 1Ss求 F 卜F |<X乜 <X < 3}7. 设事件A 在每一次试验中发生的概率分别为 0.3.当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号,求:(1) 进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2) 进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率. 解:设X 为事件A 发生的次数,⑴----...-=Cg(0.3)3(0.7)2 + 4(03「(0刀 14FC|(03)5(0_7)°=0.1323+ 0.02835+0.00243 = 0.163(2) . :. ....-....-..=35 31 31 u cp lztc£p 31 3 c Z1 < 22rc£ i*書15 013c c -p时o -时=解:P 闪k}=〔 •「匚, k=1,2, 3, 8p{ X< — = 1 4p< X < 13 - 4=1 - 41 - 2=- 1 _z 3}-<- 3X <门X<2 p p2 1 1解2.设离散型随机变量X的分布律为：X -1 2 3P 0.25 0.5 0.25 求X的分布函数，以及概率匸丄二•「.解 V : L A1「■一ft—l<x<2 9^, F(x) = P{X < x) = P{X = —1} = 0>25；3 4 >x>5 (2戶…1 =• l …「 i如下4个函数，哪个是随机变量的分布函数r o, x < -2⑴Fj (町=^, —2冬輩v 0i 2, x >0设F I (X ),F2(X )分别为随机变量X1和X2的分布函数，且F(x)=a F(x)-bR(x)也是某一随机变量的分布函数 证明a-b=1.证:i ； : : : : : : ■x < 0 0 < x < 设随机变量X 的分布函数为F(X ) =a+iarctanx, <「八工求(1)常数a,b;⑵珂一J 吃黑磋门解：(1)由分布函数的基本性质- 一 - - 一-得a +b =0^+b *0=1解之a -, b-/ 0, JE <o(2) F 2(X ) = sinx, Q <K < I1, X > TT(o r Y < 0⑶V TT (将x=1带入F(x) =a+iarctanx)注：arctan为反正切函数，值域( )，arctan仁6.设随机变量X的分布函数为「①x<lF(xr) —lnx z 1 < x < el f x> e求逼;::--解：一—_ 一注：1；〔壮=蚪：—总P{0 < X < 3] = FC3) 一F(0) =1-0 = 1;P{2 2^} = F(2.5)- F(2) = ln23 -ln2 = =lnl.25习题2.31.设随机变量X的概率密度为:求：(1)常数a; (2)科缶辽賈瓦；?；⑶X的分布函数F(x).解：(1)由概率密度的性质」'*[=：：二1Ah2⑵ p{o<x<^}=® 血(；)-G)sin(0)=rT+r0=¥一些常用特殊角的三角函数值(3) X 的概率分布为：2. 设随机变量X 的概率密度为 f(x)= ae -1*1求:(1)常数a;解：仁7 f(x)dx =曲 dx 十 ae _aEdx =p{0 <X < 1} = F(i)-F(fl) = |(l-e _1JX 的分布函数(1 2o一专产X> 03. 求下列分布函数所对应的概率密度：(1) : -■ 7匚芦二二 —丁x>° (指数分布)x<0不存在-Cl+siiMc).ITX<2nTT-- 生工W 一22 71"一00 <x< +CO,(2)!圾i V 前v 门;(3)X 的分布函数.(1) 解:—(柯西分布)(2厂-一K> 0 x< 0⑶F3（X）二」x < 00<* TTX > -- I C&SX,解：f3(x)二’I a 其他（均匀分布）4.设随机变量X的概率密度为「耳0< x<1— 2 — 3tj IMkUN0,其他.求:（併｛炬牛（2陀"<冷解：例2 设X-f（工）=2—拟l<x<2a求殆）・J—1*1ibWx^-分段袁达的，求艸软时註意井段就. X, ()<x^ 1X'/(x)=<2—I <x<2 [(1其艺F(jr) = P /(/ yhJ—4f曲+『(2 - F kZr x<() 0<x<l l<x<2 x>2ax<0X -0<x<l F(x)= 1 22x-l-,l<x<22［匚x>2⑴ P{x>H=l-FG) = l-t = l-|=I⑵⑵「上卜弓；V设K 在(0,5)上服从均匀分布，求方程•^ ； \| 1>."1 (利用二次式的判别式)解：K~U(0,5)/I f(K) =「I 氏方程式有实数根，则.「「上「「一"I I 丨*1'.' ! _ ■■2< K< -1故方程有实根的概率为：P(K<-1} + P{K > 2} = J |dz = <W6.设X ~ U(2,5)现在对X 进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解：E :F - I ——--5— 22至少有两次观测值大于3的概率为：2 1 2 1 20禺馬卄碼)匂一刃7. 设修理某机器所用的时间X 服从参数为入=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时，在一小时内可 以修好的概率•解：1' ：： ■ I. I. I ''8. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从参数为入=的指数分布，某顾客在窗口等待5.0兰恳兰5苴他服务,若超过10分钟，他就离开•他一个月要到银行5次，以丫表示他未等到服务而离开窗口的次数 写出丫的分布律,并求丄-少占解：未等到服务而离开的概率”为：1〕- 1 - Fi 1 r - 1 - r. -;--p{Y = fe}=一 e -a)5-k (fc = 04,2,3,4,5)丫的分布律： 丫0 1 23 4 5P 0.484 0.378 0.118 0.018 0.001 0.00004p{Y>l} = l_p{Y = O} = l_ 0.484 = 0.5169. 设 X ~ N(3,J ),求:⑴- 一..一一.…一一一 「.一 一； ⑵i 」.■丄.一解：⑴ P{2 吨蛊兰 = 护(亍)=0(1)— [1 - (7)] =0-0413 - (1 - 0.6915) = 05323P(M>2}= l-P(-2^r^ 2} = 1 - e (字)—© (宁)=1 -(0.30S5 - 0.0062)= 0.6977 P{X >3} = P{X ^ 3J = 1-(宁)=1- ^(0) = 1 - 0.5 = 0,5⑵■- - - - ■■■P[X A <| = 1 — P{X > c} P{X>tf} + P{X> c}= 1®(宁)"日F经查表——，即C=310.设 X ~ N(0,1)设 x 满足"区 . .-解：P{[X| >x} < 0.1 2[l-^(x)]< 0.1^(3.5}- [1 — ©(月.5)] = 0.9998-0.0002 = 0.9996P(-4 < ¥10} = 4>19204>(x) > 0.95经查表当：：工1.65时；；「一-即■: J.65 时f |X| .二］一.g11.X ~ N(10,「),求：⑴一，一(2) i J . .■■.解：(1)「二 1 ■ ■ 1 : ■- —二：二…- - : : _(2) ■「一 _. 1经查表-二,即d=3.3212.某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05,・…厂),规定长度在范围10.05_0.12内为合格，求一螺栓不合格的概率.解：螺栓合格的概率为：P{ 10.05 一0.12 <X<10.05 + 0.12} =P{9S3<X <10.17}_ 丰^10.17 一10.05^_ 中\0^6 )=*(3) - [1 一*[3)J=0.9772=^2 - 1 =0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613.测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,…J进行3次独立测量.求:(1)至少有一次误差绝对值不超过30m的概率；(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解：(1)绝对值不超过30m的概率为：1920严® —10.05>\ 0^06 J=;(10 +应一(30 — 20\ /—30 —20\一J - e (———J = 4)(O.Z5>- [1-4>(125)] = 0.4931 至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为：1- . .'.(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为：(:扛0.49 引严(1 一0・4931)2 = 0.3801习题2.41.设X的分布律为X | -2 0 2 3-P_0.2 0.2__0.3 0.3求(1) 的分布律.解：(1八_的可能取值为5,1,-3,-5.由于P{Yi = 5}二P{-2X + 1 = 5} = P{X = -2] = 0.2P{Y t= 1} = P{-2X + 1 = 1} = P{X = -2] = 0.2P{Y t = -3}二P{-2X + 1 = -3} = P{X = 2] = 0.3PfYi = -5} = P{-2X + 1 = -5} = P{X = 3] = 0.3 从而i _的分布律为：X -5 -3 1 5Yi | 0.3 0.30.2 0.2（2）.的可能取值为0,2,3.由于P{Y2 = 0} = P{|X| = 0} = P{X = 0] = 0.2P{Y2=2J = P{|X| = Q} = P{X = -2] + P{X = 2} = 0.2 + 03 = 0.5P{Y2= 3} = P{|X| = 3] = P{X = 3] = 0.3 从而：.的分布律为：X 0 2 3¥20.2 0.5 0.32.设X的分布律为X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1__04求寸- '解:Y的可能取值为0,1,4.由于P{Y = C} = P{（X 一l）a = 0}= P{X = 1} = 0.1P{Y = 1} = P[（X 一l）a = 1}= P{X = 0} + P{X = 2] = 0.74.设随机变量X的概率密度为I 8 苴他.求以下丫的概率密度：(1) Y=3X; (2) 丫=3-X; (3) A-.解:(1) 丫=g(x)=3X, ■: = —= 7二匚=-⑶ ■ ■ 「.二fy(y)= f x(h(y))l h ;(y)| = e -^f YCy) = ^C h (y))l h ，^l = _6*3=i818-3 < y < 0, S 其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y,「 -1fv(y) = f 3£(h(y)}l h'(y)l = |*(3-Y )2+1 = MIJQf3(3-Y)=3 < y < 4, 其他⑶弋一飞、沁「罟,X=h(y)=「「fY(y) = t(h ty^l h ；(y)l = 3V5?怎詁学即WA3VY4「 y 」0, 其他5. 设X 服从参数为入=1的指数分布，求以下丫的概率密度:⑴丫=2X+1; ⑵丄―二 ⑶.-:解:⑴ Y=g(x)=2X+1； J ］曲」冒：1：f 窗•-;X 的概率密度为：f Y (y) = f K (h(y))l ho)| 二矿ri 士 -e = p y>0 0f 其他即:-；Y-l 11 Y-12 =2S 2⑵ 1' - ■-■ V — = —「「一：「—却防= L(h®))l 打仞| =11111俸 = — * ——Y inT Y Y Y Y 2即&&)= *y > 1 10. 其他(=声永远大于0.当x>0是，护>16.X~N(0,1)求以下Y的概率密度：(1) 1 -:. -.-…：-解：(1): - ; ： - .. .. - .. / - 「.…一一当X=+Y时「：•' ■: : -'. '当X二-Y时："■:一[1.宀….HI—.」」吐…、 1 1 _壬z _疋41故Vzir ^2ILfy(y) =Y— 1 1(2)Y = g(x) = 2X2+ 1,X= h(y} = ^-hC/)= J——J 停「，孕;R・(巧=4(h(y))| h\y)l = 二巳3~y m即右滾I 0. y^l自测题一,选择题1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品，从中随机地，有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数，则P{X=3}= C .2•设随机变量X~B(4,0.2)则P{X>3}= A .-IzlV-j 2V^(y- l)e鮒心肿沪 D —(x-p)*oA. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.8192 解:P{X>3}= P{X=4}=?页滋护工…陰謬于1(二项分布) 3.设随机变量X 的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是D .A. . - - -B.一 --一C.①匹阀我匹：一D. F(x)为连续函数4. 下列各函数中是随机变量分布函数的为 B .■3 [D. - :- -v 、ifi 则常数a= A .x< 10sc,a < x < J?r是某连续型随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是 CA. [0, 1]B. [0, 2]C. | —D. [1,2]7. 设随机变量X 的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X 的概率密度的是A. 0B. 0.25C. 0.5D. 1 解:P{-1 < K<1} =仁寸dx =吕9. 设随机变量X~U(2,4)则朋③临mi}= A .(需在区间2,4 内)A. P[2.25 < x< 3.25}B. P{1・5 < r < 25}C. ■ - L ■ . ■ . .D.A. N (-1,2)B. N (-1,4)C. N (-1,8)D. N (-1, 16).-自己算的结果是1 IT*10.设随机变量X 的概率密度为--—- 则X 一.{A.-- -;■-5.设随机变量X 的概率密度为尬磁;-；.『：' 代-10B. 一―C. -D. 10解:F(x) =_ -不晓得为何课后 答案为D8.设连续型随机变量 则-..= B .B. T 矯」x< 0x > 0-1 < 1其也—1 < X < 1其他—1 < r < 1其他-1 < 1 苴他X 的概率密度为■:-：0 < 20.其他11.已知随机变量X的概率密度为fx(x)，令Y=-2X则丫的概率密度fv(v)为 DA. _：B. &L：；C. _：D. -i 一二,填空题1.已知随机变量X的分布律为X 1 2 3 4 5P 2a 0.1 0.3 a 0.3则常数a= 0.1 .解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12.设随机变量X的分布律为X 1 2 3P 12 36 6 6记X的分布函数为F(x)则F(2)=- .解：-―-r t &3.抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X则魯施兰尅•二_—_.解:一’•' "- '4.设X服从参数为入(入>0)的泊松分布，且=二.=:，则入=2解:分别将-:--.5.设随机变量X的分布函数为I 尸0, x < aF(x) =- 0.4, a < x <.1「x >b其中0<a<b,则'-:一解:^ -::::—=门= 1- = ■-6.设X为连续型随机变量,c是一个常数,则下2二<：■ = 0.7.设连续型随机变量X的分布函数为( 1-e3r jt < 03F(x) = \ 1-(K H- 1), □ < V < 23则X的概率密度为f(x),则当x<0是f(x)= ___ -》______ .8.设连续型随机变量X的分布函数为F(x) = P_e巴其中概率密度为f(x),lO f T <= 0则f(1)=__： : _.一一(—j—日V JC V CL i 9.设连续型随机变量X的概率密度为其中a>0.要使:=，则常数I①其他3 3 .10•设随机变量X~N(0,1),褪筋为其分布函数，则g； W：= 1 .11.设X~N 一一厂，其分布函数为一二一二为标准正态分布函数，则F(x)^l ■:之间的关系是诫癖=_丁「一12.设X~N(2,4)则用¥.吃洲二0.5 .13.设X~N(5,9),已知标准正态分布函数值一二-一一「，为使匕二亠〔m,则常数a< 6.5 .解J:- —,——--14.设X~N(0,1)则Y=2X+1的概率密度:數阴=_ 一解：Y— 1 1V = = ZX+ ljX = h(y)=——止工卩)=-# I 1 誓「1 1&(y)=Et(h(y))l h‘(y)| = ^〒旦2* 2 =2V2iE e 3三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取解:X=0,1,221当X=0时,r. \ 门当X=1时,厅：U乎：2当X=2 时，I「二=；：='/'：= “X的分布律为：X 0 1 2a=2个球,以X表示取到红球的数，求X的分布律.-1 < r < 1疔 甘出 求：⑴X 的分布函数F(x);(2)P{X< A-Q.5}.Of 具他 解：⑴二 'I - ■ I' ■■ i当 X>1 时-F(x) = 1⑵卜一「二「-二— =:.-■ 「二.二——」二： - 二一五.已知某种类型电子组件的寿命 X 单位:小时)服从指数分布，它的概率密度为心五宀r>0(0,x< ft一台仪器装有4个此种类型的电子组件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子组件 损坏与否相互独立.试求：⑴一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率二;(2)一台仪器能正常 工作2000小时以上的概率：:.解：(1).' 一 - ______f + OS 1 矍=I --------- e dx Aooo^OOO+0C 2000=0 —(—e _i) —e _1(2)因4个电子组件损坏与否相互独立 P 2 = Pj = (e -1)4 =--- * —2 000 * e MCP20004-oo200016 3io io io、 fkL 四.设X 的概率密度为f(x)= “ 当 0<x< 1 时jFQO = 1 巩 X) = *0 L x a厂亍1X 2一 -I 2 2 1,x< -1O< X< 1 X> 1当+帖带入一島时变咸员无穷大,，故:0时』F(x)=仁-xd2 2。