《数学物理方法》试卷答案一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ）A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ）A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.3．牛曼内问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∇Γf n u u ,02 有解的必要条件是（ C ）A ．0=f .B ．0=Γu .C ．0=⎰ΓdS f . D ．0=⎰ΓdS u .4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题⎩⎨⎧==<<=+0)()0(0 ,0)()(''l X X lx x X x X λ的解是（ B ）A ．) cos , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛.B ．) sin, (2x l n l n ππ⎪⎭⎫⎝⎛. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-. D ．) 2)12(sin,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u .C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x .D ．023=+-yy xy xx u u u .二、填空题（每题4分，共20分）1．求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==>-==><<=∂∂-∂∂====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x ut u t t t x x 的解是(x t cos sin 2).2．对于如下的二阶线性偏微分方程0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++x y xx y x x y 的任一特解=y （ )21(23x J 或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r1ln），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1）.5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2121ππ==-，利用Bessel 函数递推公式求=)(23x J （)sin )(1(2)cos sin 1(223xxdx d x x x x x x ππ-=- ）.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22222000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u ua x l t t x uu x x u x ul ====⎧∂∂-=<<>⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪⎪==≤≤⎪⎩解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。

因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。

设为λ-，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒-==.0)()(,0)()()()()()( ''2''2''''x X x X t T a t T x T a x T x X x X λλλ将),(t x u 代入边界条件得,0)()()()0(''==t T l X t T X从而可得特征值问题,0)()0(0)()(''''===+l X X x X x X λ第二步：求解特征值问题 (4分)1) 若0<λ，方程的通解形式为xxBe Aex X λλ---+=)(由定解条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。

2) 若0=λ，方程的通解形式为B Ax x X +=)(由边界条件知,0=A ，从而B x X ≡)(。

3) 若0>λ，方程的通解形式为x B x A x X λλsin cos )(+=代入边界条件得⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧==,...3,2,1 ,)(,00sin ,02n l n B l A B πλλ 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====,...3,2,1 ,cos )(,...3,2,1,0 ,)(2n x l n A x X n ln n n n ππλ第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分) 求解了特征值问题后，将每特征值n λ代入函数)(t T 满足的方程可得出相应的解,...3,2,1 ,sin cos )()('''0'00=+=+=n at ln D at l n C t T tD C t T n nn ππ 因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解,cos )sin cos(),(100∑∞=+++=n n n x ln at l n D at l n C t D C t x u πππ 第四步：确定叠加系数 (4分)由初始条件可知0cos cos1010=+=+∑∑∞=∞=n nn n x ln l a n D D x x ln C C πππ可得,2,1,0,03,2,1],1)1[(22220===--==n D n n lC lC n n n π故原方程的解为.)12(cos )12(cos )12(42 cos cos ]1)1[(22),(022122∑∑∞=∞=+++-=--+=n n n x ln l at n n l l xln l at n n l l t x u ππππππ四、（10分）用行波法求解下列问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<∞->=∂∂-∂∂∂+∂∂==.,0 ,3 , ,0 ,03202022222x y u x u x y y uy x u xu y y 解：其特征方程为0)(32)(22=--dx dxdy dy (2分)由此可得特征线方程为dy x cy x =+=-3 (2分)因此作变换⎩⎨⎧+=-=y x y x μξ,3 (2分) 从而可得ηξ∂∂∂u2＝0 从而有)()3(),(y x G y x F y x u ++-=由初始条件可得)()3(3)()3(''2=+-=+x G x F x x G x F所以有C x G x F =-)(3)3(，从而可得Cxx G Cx x F +=-=43)(49)3(22(2分) 故而可知223)()3(),(y x y x G y x F y x u +=++-=。

(2分)五、（10分）用Laplace 变换法求解定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=>==><<∂∂=∂∂===.20 ,sin ,0 ,0,0 ,20 ,02022x x u t u u t x x ut u t x x π 解：由题意知，需关于时间t 作拉普拉斯变换，记)},({),(t x u L s x U =，对方程做拉氏变换可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=-==,,sin 2022x x U Ux sU dxUd π (4分) 用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解20sin ππ+=s xU (2分) 又上常微分方程相应的齐次问题的通解为xs xs Be AeU -+=1所以，上常微分方程的通解为2sin ππ+++=-s xBe AeU xs xs ， (2分) 再由定解条件可得A ＝B ＝0，从而2sin ππ+=s xU 故而，原定解问题的解.sin }sin {}{),(2211x e s x L U L t x u tππππ---=+==。

(2分)六、（15分）用格林函数法求解下定解问题222200, y 0,() , .y u ux y u f x x =⎧∂∂+=<⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩ 解：设),(000y x M 为下半平面中任意一点。

已知二维调和函数的积分表达式为dS n ur r n M u M u MM MM )1ln )1(ln )((21)(000∂∂-∂∂-=⎰Γπ (2分) 设v 为调和函数，则由第二格林公式知0)()(22=∂∂-∂∂=∇-∇⎰⎰⎰ΓΩdS nuv n v u d u v v u σ （2） （1）＋（2）可得dS n u v r dS r n n v M u M u MM MM ])1ln 21(])1(ln 21)(([)(000⎰⎰ΓΓ∂∂-+∂∂-∂∂=ππ (2分) 若能求得v 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<=∇==00201ln 210,0y MM y rv y v π （3）则定义格林函数v r M M G MM -=1ln 21),(0π，则有 dS nGM u M u ⎰Γ∂∂-=)()(0 (2分) 由电象法可知，),(001y x M -为),(000y x M 的象点，故可取11ln21MM r v π=(2分) 显然其满足（3）。

从而可得格林函数))()()()()()((21)1ln 1(ln 211ln 211ln 21),(202002020001010y y x x y y y y x x y y r r y y G n G r r M M G MM MM MM MM ++-+-+-+---=-∂∂=∂∂=∂∂-=ππππ(5分) 故而ξξξπd f y x y dS n G M u M u ⎰⎰+∞∞-Γ+--=∂∂-=)()(1)()(202000 (2分)七、（10分）将函数()f x x =在区间[0，1]上展成Bessel 函数系(1)11{()}m m J x μ∞=的级数，其中(1)m μ为Bessel 函数1()J x 的正零点，1,2,m =.解：设()f x x =有如下级数形式∑∞==1)1(1)()(i i i x J A x f μ (1分)下面利用Bessel 函数的正交性确定系数i A易知，对上等式两边同时乘以)()1(1x xJ i μ并关于x 在[0,1]内积分可得⎰=10)1(12)1(22)()(2dx x J x J A i i i μμ (2分) 再由递推公式)()]([1222x J x x J x dxd =,可得 dx x J x x J x d i ii )(])([)1(12)1()1(22μμμ= (2分)故而)(2)(2)()(2)()(2)1(0)1()1(2)1(1)1()1(22)1(2210)1(12)1(22i i i i i i i i i i J J x J x J dx x J x J A μμμμμμμμμ-====⎰ (3分) 这里用到递推公式)(2)()(11x J xnx J x J n n n =++-。