二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction) x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
1.最大切应力的方位（The direction of maximum shearing stress ）
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ）
x y d 令 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2 2 xy 0 90 tan2 0 0 x y
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
30
2 2 40 60 40 60 cos( 60 ) ( 50) sin( 60 ) 2 2 58.3MPa x y 40 60 sin 2 xy cos 2 sin( 60 ) 2 2 ( 50) cos( 60 ) 18.3MPa
y
1 xy x
作者：王吉民
2010年8月
§7-1 应力状态概述
§7-2 平面应力状态分析——解析法
§7-3 平面应力状态分析——图解法
§7-4 空间应力状态分析简介
§7-5 材料的物理性关系 §7-6 平面应变状态分析 §7-7 强度理论概述 §7-8 四种常用强度理论 §7-9 莫尔强度理论
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
薄壁圆筒的横截面面积
πD 2 F p 4
πD 2 F p 4 pD A πD 4
′
p
A πD
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
x y d 2[ cos 2 xy sin 2 ] 0 令 d 2 x y 1 tan 21 90 2 xy 1
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
2.最大切应力（Maximum shearing stress ） 将1和 1+90°代入公式
低碳钢和铸铁的拉伸
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢和铸铁的扭转
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？
3.重要结论（Important conclusions）

2 xy 2 50 tan 2 0 1.429 x y ( 70) 0
1 3
A
0
27.5

0 1
x
62.5
3
因为 x < y ，所以 0= 27.5°与min对应
x y 2 2 26MPa max x y ( ) xy 2 2 96MPa min
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
2.最大正应力（Maximum normal stress） 将 0和 0+90°代入公式

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
得到max和min (主应力）
x y 2 2 max x y ( ) xy 2 2 min
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
（2）正应力仍规定拉应力为正
（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
e
x
xy
α
α
n α
e dAcos α a dA
α
f
a
yx
y
t
dAsin
f
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) 设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
2
3
2
1 1
1 3 2
1
1
2
1
例题 1
画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面
4
3
l/2 l/2
2 1
5
S平面
5 4
4
3 2 1
3 2
1
2 x1
1
3
x1
x2
2
x2
2
3
3
例题2 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
m n

z
y
p
D
m
l
n n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
α
n α
90 x y
应力转轴公式的适用范围？
α
f
a
yx
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
y
t
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction） x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内 则确定主应力方向的具体规则如下 （1）当x> y 时,0 是x与max之间的夹角 （2）当x<y 时,0 是x与min之间的夹角 （3）当x=y 时,0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应 力情况直观判断出来
§7-2 平面应力状态分析-解析法 （Analysis of plane stress-state）
y
y yx
y
xy
yx x
x
x
xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、斜截面上的应力（Stresses on an oblique section）
π
例题 3
P y B C z
画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
A
P
x
A
x
yx
P
x
zx
M
x
B
xz
x
C
xy
从杆件的扭转和弯曲等问题可以看出，最大应力往往发生 在杆件的表层。而构件表面一般为自由表面，即有一主应力为 零，因而从构件表层取的单元体必定是二向应力状态，这是最 有实用意义的情形。

x y
2
sin 2 xy cos 2
得到max和min
x y 2 2 max ( ) xy 2 min
2 xy x y 和 tan 2 1 比较 tan 2 0 x y 2 xy
1 可见 tan 2 0 tan 21

x y
cos 2 xy sin 2
n
（2） 求主应力和主单元体的方位
因为x < y,所以0= -22.5°与min对应
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 3 x y 40 60 22.5 45 0 2 0 67.5 135
1 26MPa, 2 0, 3 96MPa
例题5 图示单元体,已知 x =-40MPa,y
y
e
=60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情
况及主应力和主单元体的方位. 解:（1）求 e-f 截面上的应力
f
xy
x
30°
30
x y
π π 21 2 0 , 1 0 2 4
例题4 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和 切应力分别为 =-70MPa, =50MPa.确定A点的主应力及主平面 的方位.
m A

m
a
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图

A
x 70, y 0, xy 50
过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态 （state of stresses of a given point）,亦指该点的应力全貌.
二、应力状态的研究方法 （The method for investigating the state of stress）
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body）