s ss t 令 :d d 0 xys in 20 2x yc o s20 0
tg20
2txy sx sy
sy
由此的两个驻点：
01、（01
π）和两各极值： 2
y
sx
txy
s max s min
sx
sy ±
2
（ sx
sy
2
）2
t2 xy
O
x
t0sx 2sysin2 0 txycos2 00
O
x
t
2 xy
t
st s s t 1; 2 0; 3 tg20sx 2txs yy 045
t max tmin
（sx 2sy） 2tx2y
t
tg21sx2txsy y 010
破坏分析
低 碳 钢 ：
ss 240M Pa;ts 200M Pa
灰口铸铁：
s Lb 98 ~ 280M Pa s yb 640 ~ 960M Pa; tb 198 ~ 300M Pa
力状态。
三、单元体：
单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质——
a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
s
y
y
四、普遍状态下的应力表示
sz z
sx
txy
x
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上，如果有与相交边垂直的剪应力分量， 则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。
x
s pD 4
a
10
y
dq
p(lDdq ) 2、环向应力（hoop stress）
2
z
O
q
p
用纵截面将容器截开，受力 如图c所示。
s
D
s
图c
s (l D ) 2 p D l
s’
s” 外表面
s l pD l D 2
a
11
§9–2 平面应力状态分析—解析法
y
sy
sy
sx
等价
txy
y
sx
第九章 应力与应变分析 强度理论
§9–1 应力状态概述 §9–2 平面应力状态分析—解析法 §9–3 平面应力状态分析—图解法
一、引言
§9-1 应力状态概述
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸 M
铸铁压缩 P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应
低碳钢 铸铁
§9–3 平面应力状态分析—图解法
sy
t sx xy
y
O
x
s
sx
t
y
t sy yx
O
x
一、应力圆（Stress Circle）
ssx2sy
sxsy
2
co2stxysin2
tsx2sysin2txyco2s
对上述方程消去参数（2），得：
n ssx 2sy2t 2sx 2sy2tx2y
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆， t 由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy
考虑剪应力互等和三角变换，得：
sx
txy
y
O
x
图1
s
sx
t
y
t sy yx
O
x
图2
s sx 2 sy sx 2 syc2 o stxs y 2 i n
同理：
Ft 0
n tsx 2sysi2n txc y o2s
t
二、极值应力
s sx 2 sy sx 2 syc2 o stxs y 2 i n
极值正应力就是主应力：
s max s min
sx
sy ±
2
（ sx
sy
2
）2
t2 xy
s s s s 1 m ax ; 3 m in
y
O
sy
s3
主 单元体
t sx xy
s1
x
s1在剪应力相对的象限内，且偏向于sx 及sy 大的一侧。
tsx 2sysi2n txc y o2s
令: dt
0
sy
n
二、应力圆的画法
s t
t sx xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
y
x O t n D( s , t
2 C O B(sy ,tyx)
在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx)
x A(sx ,txy)
s
AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画圆—应力圆；
txy
x z
O
x
sy
一、任意斜截面上的应力
y
sx
txy
规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
O
x
图1
s
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
sx y
t
t sy yx
Fn0
n
sdAsxdAcos2txydAcossin
O
x
图2 t sydAsin2tyxdAsincos0
sy
s1s2s3
三向应力状态（Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x M
tzx
txz
t yx
t C
xy
七、主单元体、主面、主应力：
sy y
主单元体（Principal body）：
各侧面上剪应力均为零的单元体。 sx
sz z
s2
s3
主平面（Principal Plane）： 剪应力为零的截面。
x 主应力（Principal Stress）： 主平面上的正应力。
s1 主应力排列规定：按代数值大小
例2 图a所示为承受内压的薄壁容器。试导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式 。
s1 sm
p p
p
l
x 图a
D
y
x
p
A
O
B
a
9
解：容器的轴向和环向应力表达式 1、轴向应力（longitudinal stress）
用横截面将容器截开，受力如图b所示，根据平衡方程
D
s’ p
s’ 图b
sπD pπD 24
d 1
tg21s2xtsxy y
ttmmainx
±
（sx
sy
2
）2 tx2y
01 π 4 ， 即 极 值 剪 应 力 面 与 主 面 成 4 5 0
a
17
例3 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原始
t yx
单元体
C M
t C
xy
sxsy0
t xy
t
M Wt
txy
求极值应力
tyx
y
s sm mainxsx 2sy（ sx 2sy） 2tx2y
t s y
yx
y
sz z
txy sx
x
证 明 ： 单 元 体 平 衡M z 0
t t (xd y y d z)d x (yd x z d x )d y 0
t xyt yx
六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
y B C z
A
P
sx
sx
A
P
sx B sx