八下第18章《勾股定理》勾股定理知识点导航一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+ b 2= c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长角形。
2.勾股数：满足 a 2+ b 2= c 2的三个正整数叫做勾股数(注意：若a ,b ,c 、为勾股数，那么 ka , kb , kc 同样也是勾股数组。
)* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
(经典直角三角形：勾三、股四、弦五)其他方法：(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2) 有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：(1) 确定最大边(不妨设为 c )；(2) 若c 2= ^+^‘则厶ABC 是以/ C 为直角的三角形;若a 2+ b 2v c 2,则此三角形为钝角三角形(其中若a 2+ b 2> c 2,则此三角形为锐角三角形(其中4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于(3 )在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。
5. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。
(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
c 为最大边)； c 为最大边)30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
ba(3)用于证明线段平方关系的问题。
(4)利用勾股定理，作出长为.n的线段6.2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法b C7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理:（一）结合三角形:1.已知ABC的三边a、b、c满足（a b）2（b c）20，则ABC为 __________ 三角形2.在ABC中，若a2=（b+c）（b-c），则ABC是____________ 三角形，且 ___________ 903.在ABC中，AB=13 AC=15,高AD=12 _则BC的长为_________________4.已知x 12 x y 25与z210z 25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。
5、.已知：在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n2 1，b =2n，c = n2 1 （n>1）试说明：C=90。
6.若ABC的三边a、b、c满足条件a2 b2 c2 338 10a 24b 26c，试判断ABC的形状。
7.已知―6 2b 8 （c 10）20,则以a、b、c为边的三角形是____________________ （二）、实际应用：1.梯子滑动问题：（1）一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯子底端将向左滑动 ___________ 米(2)如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，(填“大于”，“等于”，或“小于”)(3)如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，AC ^ BC, AC=BC 当梯子的顶端 A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是( ) A. X+y B. x>y C. x < y D.不能确定(4)小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m ,当他把绳子的下端拉开 5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 __________ 米2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系:试一试：(1 )只需证明h2( 12b 2)1，从左边推到到右边a(2)a b 2c h 2(3)a h 2 h 2c h2，注意面积关系ab ch 的应用3. 爬行距离最短问题:1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10cm,得到。
4处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒A、第3题图直角三角形两直角边长为 a ，b ，斜边上的高为h ,则下列式子总能成立的是2 2 2 A. ab b B . a '2 2b 2h C.1 1 1D.a b h1h 2变：如图，在Rt △ ABC 中，/ ACB=90，求证：(1)(2) 1 1 ~ 2a b a b c以 a b ， h ， c h(3) 为三边的三角形是直角三角形壁的忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E,再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿途径A E C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理,并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。
（2）如图b，假设昆虫甲从点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行,利用勾股定理建立时间方程，通过比较得岀昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2.如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点F距地面的高FD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2 dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是______________ 分米？4.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短为（）A.、3aB. 1.2aC. 3aD.、5aB5、如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击•结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐•请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3）6、如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟?7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招, 就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线一盘旋前进的。
难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为3 cm,绕一圈升高4cm,则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为8 cm,绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？8如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m两村庄之间的距离为d（已知d2=400000m），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。
冋最小是多少?4、实际问题1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是__________ 米。
2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4晅米，则这两株树之间的垂直距离是__________________ 米，水平距离是_________ 米。
3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
4.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC= 50米,/ B= 60°，则江面的宽度为_______________ 。
AP=160米，点A到公路MN的距离为80米, 假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少?5、求边长:1.如图所示，在四边形ABCD中，/ BAD=90°，/ DBC=9(° , AD=3 AB=4, BC=12 求CD6、方向问题：1.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M测得/ MAN= 30°,当他到B点时，测得/ MBN= 45°，AB= 100米，你能算出AM的长吗？2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km,接着，它又掉头向正东方向航行15千米.⑴此时轮船离开岀发点多少km?⑵若轮船每航行1km,需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？7、折叠问题:ABCD 勺长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠，使点 D 与点B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少?2.如图，在长方形 ABCD 中，将△ ABC 沿 AC 对折至△ AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC （ 2）如果AB=3, BC=4,求AF 的长3.如图，在长方形 ABCD 中, DC=5在DC 边上存在一点 E ,沿直线AE 把△ ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上,设此点为尸，若厶ABF 的面积为30,求折叠的厶AED 的面积4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 你能求出CD 的长吗？i.如图，矩形纸片 D5.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 BC=8将厶ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE则CD等于（）22 C.7D.A. 25B.6、如图，矩形纸片ABCD勺边AB=10cm BC=6cm E 为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.&利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度A AC.9、旋转问题1、如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2 3 ,PC=4,求厶ABC的边长。
2、如图1-3-11 ,有一块塑料矩形模板ABCD长为8cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P:①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm若能，请你求出这时AP的长; 若不能，请你说明理由.3、如图，正方形ABCD中, E是BC边上的中点, 吗？为什么？1F是AB上一点，且FB AB，那么△ DEF是直角三角形4精选文档。