第九课时 分段函数
【学习导航】
知识网络
分段函数⎪⎩
⎪⎨⎧分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义
学习要求
1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域；
3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x －1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
【解】：
(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
所以已知函数可写为分段函数形式：
y=|x －1|+|x+2|=⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。
（图
象略）
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。
写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
【解】：
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤t ≤2时，y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况：
2<t ≤3时，y=12
最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3<t ≤6时，y=12－4(t －3)
所以S(t)=⎪⎩
⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)20(6t t t t t
函数图象（略）
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
【解】：
对称轴x=讨论分12
];1,1[2122>-∈-<a a ；a a 得g(a)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤---<+)
2(52)22(23)2(522
a a a a a a 利用分段函数图象易得：g(a)max =3
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。
追踪训练
1、设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)
2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________
答案：18；6-或4。
2、已知函数f(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧<=>)0(0)0(1)0(2x x x x
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.
答案：1；1；1。
3、出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x －5┃
解：原函数变为 y=⎪⎩
⎪⎨⎧+∞∈-∈---∞∈-),5[,7)5,2(,32]2(,7x x x ，x
下面根据分段函数来画出图象
图象（略）。
4、已知函数y=⎪⎩
⎪⎨⎧-+=+==)1()()1(3)1(1)0(n nf n f n f f f ，则f(4)=_______.
答案：22。
5、已知函数f(x)=1|
1|122++++-x x x x
(1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示；
(3)作出函数图象
答案：（1）函数定义域为{x ┃x R x ∈-≠,1}
( 2 )
f(x)=┃x-1┃+1|
1|++x x
=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---
<-1
,11,21
,x x x x x x
(3) 图象（略）。
分层练习
1、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111
||,2|1|2x ，x x x ，则f[f(2
1)]=( ) A.21B.134
C. －59
D.4125
2、若f(x)=⎩⎨⎧≥)0()
0(2 x x x x ⎩⎨⎧<-≥=)
0()
0()(2x x x x x ϕ，则当x<0时，f[ϕ(x)]=(
) A. －x B. －x 2C.xD.x 2
3、已知，若f(x)=.______)
2(2)21()
1
(22的取值范围是则x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+
4、下列各组函数表示同一函数的是( )
①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0()
0(x x x x
②f(x)=24
2--x x ，g(x)=x+2
③f(x)=2x ，g(x)=x+2
④f(x)=1122-+-x x g(x)=0 x ∈{－1，1}
A.①③
B.①
C.②④
D.①④
5、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x －0.1x 2，x ∈(0，
240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
6、f(x)=⎩
⎨⎧∉-∈]10[,3]10[1，x x ，，x ，使等式f[f(x)]=1成立的x 值的范围是_________. 7、若方程2|x －1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k 的取值范围是__________.
拓展延伸
8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为P=⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+*)
,3025(100*),250(20N t t t N t t t ，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=－t+40，(0<t ≤30，t ∈N*).求这种商品的日销售金额的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的哪一天？。