3
＝ 2
22，∴OBDF＝OBAA，
∵∠AOF＝90°，∴△OAF∽△BAD，∴∠OAF＝∠BAD.
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，
∴∠BAF－∠BAD＝∠BAF－∠OAF＝∠OAB＝45°.
②若直线 EF 上有一点 H，使∠AHC＝90°，求 n 的取值范围． 解：若直线 EF 上有一点 H，使∠AHC＝90°，则以 AC 为直径
∴△CEF∽△BEA，∴SS△△CAEBFE＝CBEE2. 设 BE＝t(0<t<4)，则 CE＝4－t，∴S△ABE＝12×t×10＝5t， ∴S△CEF＝CBEE2×S△ABE＝4－t t2×5t＝5（4－t t）2， ∴S△ABE＋S△CEF＝5t＋5（4－t t）2＝10t＋8t0－40＝
∴E(－3n，0)，F(0，n)，∴OF＝－n，EF＝－ 10n， ∴－2n＝－－3n1－0n1，解得 n＝－2 130＋1；
答图2 如答图 2，当直线 EF 在 x 轴上方与⊙G 相切时，设切点为 M，
连接 GM，则△EGM∽△EFO，
∴GOMF ＝EEGF，易知 G(1，0)，GM＝2，
∵直线 y＝13x＋n(n>0)与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，
(1)求二次函数的解析式；
解：∵直线 l1：y＝－2x＋10 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B， ∴A(0，10)，B(5，0)，∵BC＝4， ∴点 C 的坐标为(1，0)或(9，0)， ∵对于二次函数图象上的任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 当 x1>x2≥5 时，总有 y1>y2， ∴当 x≥5 时，y 随 x 的增大而增大．
(2)若 BD＝10，求△ACD 的面积．
【点拨】根据 BD＝10，可求出点 B 的横坐标，得出 OB，进而 可求出 BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：当 BD＝10 时，可知点 D 的纵坐标为 10，将 y＝10 代入 y ＝2x，得 x＝5，∴OB＝5， 将 x＝5 代入 y＝8x，得 y＝85，即 BC＝85， ∴CD＝BD－BC＝10－85＝452，∴S△ACD＝12×452×(5－2)＝12.6.
令 y＝0，则 x＝3，∴E(3，0)，
∴点 E 与点 A 重合． 由(1)知，抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴D(1，4)，∵A(3，0)，B(0，3)，∴AB＝3 2，BD＝ 2，AD
＝2 5，∴BD2＋AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，∵OBDF＝
1＝ 2
22，OBAA＝3
解：∵点 C 的坐标为(－1，0)，OA∶OC＝3∶1，
∴A(3，0)，∵OA＝OB，∴B(0，3)，
把 A、B、C 三点的坐标代入 y＝ax2＋bx＋c，
9a＋3b＋c＝0， a＝－1，
得c＝3，
解得b＝2，
a－b＋c＝0，
c＝3.
(2)若直线 y＝13x＋n 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F. ①当 n＝－1 时，求∠BAF－∠BAD 的度数； 解：当 n＝－1 时，y＝13x－1，令 x＝0，则 y＝－1. ∴F(0，－1)．∴OF＝1.
得 x1＝h，x2＝h＋ka，∴AC＝x2－x1＝ka. 当 0<a≤2，k>0 时，若使在直线 l 下方的抛物线 C 上至少存在两 个横坐标为整数的点，只需使 AC＝ka>2 即可． 整理，得 k>2a.又∵0<a≤2，∴0<2a≤4，∴k>4.
(3)直接写出一个一次函数，使其图象过点(0，5)，且与反比例函 数 y＝kx的图象没有公共点．
解：一次函数解析式为 y＝－2x＋5.(答案不唯一)
例 3 如图 2，正比例函数 y＝kx 的图象与反比例函数 y＝8x(x>0) 的图象交于点 A(a，4)．点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C，交正比例函数 的图象于点 D，连接 AC.
面直角坐标系中的大致图象可能是( )
【点拨】根据 ab<0 及正比例函数与反比例函数图象的特点，可 以从 a>0，b<0 和 a<0，b>0 两方面分类讨论得出答案．
【答案】B
例 2 如图 1，一次函数 y＝x＋1 的图象与反比例函数 y＝kx的图象 相交，其中一个交点的横坐标是 2.
(1)求反比例函数的解析式；
类型2 一次函数与二次函数的综合应用 例 4 【2020·南安模拟·14 分】如图 3，点 A 在 x 轴正半轴上，点
B 在 y 轴正半轴上，OA＝OB，点 C 的坐标为(－1，0)， OA∶OC＝3∶1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A、B、C， 顶点为 D.
图3
(1)求 a、b、c 的值；
的圆与直线 EF ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公共点，设该圆圆心为点 G，如答图 1，
当直线 EF 在 x 轴下方与⊙G 相切时，
设切点为 K，连接 GK，则△EGK∽△EFO，
∴GOKF＝EEGF，∵A(3，0)，C(－1，0)， ∴AC＝4，G(1，0)，
答图1
∴GK＝12AC＝2，∵直线 y＝13x＋n(n<0)与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，
∴点 C 的坐标为(1，0)． 设二次函数的解析式为 y＝a(x－1)·(x－5)，将 A(0，10)的坐标代 入解析式，得 10＝5a，∴a＝2， ∴二次函数的解析式为 y＝2(x－1)(x－5)＝2x2－12x＋10.
(2)若直线 l2：y＝mx＋n(n≠10)，求证：当 m＝－2 时，l2∥l1； 证明：当 m＝－2 时，直线 l2：y＝－2x＋n(n≠10)，∵n≠10， ∴直线 l2：y＝－2x＋n 与直线 l1：y＝－2x＋10 不重合． 假设 l1 与 l2 不平行，则 l1 与 l2 必相交，设交点为 P(xP，yP)， ∴yyPP＝ ＝－ －22xxPP＋ ＋n10，， 解得 n＝10，与已知 n≠10 矛盾， ∴l1 与 l2 不相交，∴l2∥l1.
图1
解：将 x＝2 代入 y＝x＋1，得 y＝2＋1＝3，故该交点的坐标为 (2，3)， 将(2，3)代入 y＝kx，得 3＝k2，解得 k＝6，故反比例函数的解析 式为 y＝6x.
(2)将一次函数 y＝x＋1 的图象向下平移 2 个单位长度，求平移后 的图象与反比例函数 y＝kx图象的交点坐标； 解：由(1)知反比例函数解析式为 y＝6x①，一次函数 y＝x＋1 的 图象向下平移 2 个单位长度得到直线 y＝x－1②，联立①②，得 yy＝ ＝x6x－ ，1，解得xy＝＝－－32，或xy＝＝23，，故交点坐标为(－2，－3)或(3， 2)．
专题突破
专题五 函数的综合题 第47课时 函数之间的综合应用
目录
01 试题凝聚
02 福建4年中考聚焦
01 试题凝聚
·类型1 一次函数与反比例函数的综合应用 ·类型2 一次函数与二次函数的综合应用
类型1 一次函数与反比例函数的综合应用 例 1 若 ab<0，则正比例函数 y＝ax 与反比例函数 y＝bx在同一平
10
t－2 t 22＋40 2－40，
∴当 t＝2 2时，S△ABE＋S△CEF 有最小值，最小值为 40
2－40.
2．【2020·厦门一中模拟·14 分】已知抛物线 C：y1＝a(x－h)2－1， 直线 l：y2＝kx－kh－1.
(1)判断命题“抛物线 C 的对称轴不可能是 y 轴”的真假，并说 明理由；
(3)①当 a＝－1，m≤x≤2 时，y1≥x－3 恒成立，直接写出 m 的 取值范围； 解：m的取值范围为1≤m≤2.
②当 0<a≤2，k>0 时，若在直线 l 下方的抛物线 C 上至少存在两 个横坐标为整数的点，求 k 的取值范围．
解：如图，设抛物线 C 与直线 l 的交点为 A，B，过点 B 向直线 y＝－1 作垂线，垂足为点 C. 由yy＝＝ak（x－x－khh－）12，－1，
图2
(1)求 a 的值及正比例函数的解析式；
【点拨】把(a，4)代入反比例函数解析式可求出 a 的值，确定点 A 的坐标，进而求出正比例函数的解析式；
解：把 A(a，4)的坐标代入反比例函数 y＝8x(x>0)，得 4＝8a，解 得 a＝2，∴A(2，4)，将 A(2，4)的坐标代入 y＝kx，得 4＝2k， 解得 k＝2， ∴正比例函数的解析式为 y＝2x.
解：命题为假命题．理由如下：抛物线 C 的对称轴为直线 x＝h， 当 h＝0 时，抛物线 C 的对称轴为 y 轴，故命题“抛物线 C 的对 称轴不可能是 y 轴”为假命题．
(2)求证：直线 l 恒过抛物线 C 的顶点； 证明：由抛物线 C 的解析式可知，抛物线 C 的顶点坐标为(h， －1)， 当 x＝h 时，y2＝kh－kh－1＝－1， ∴直线 l 恒过抛物线 C 的顶点．
(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线 l3：y＝－2x＋q 过点 C 且交直线 AE 于点 F，求△ABE 与△CEF 面积之和的最小值．
解：如图， ∵直线 l3：y＝－2x＋q 过点 C，C(1，0)， ∴0＝－2×1＋q，解得 q＝2， ∴直线 l3 的解析式为 y＝－2x＋2， ∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴E(－3n，0)，F(0，n)，∴OF＝n，EF＝ 10n，
∴n2＝1＋103nn，解得 n＝2 130－1.∴若直线 EF 上有一点 H，使
∠AHC＝90°，则 n 的取值范围是－2
130＋1≤n≤2
10－1 3.
02 福建4年中考聚焦
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1．【2020·福建·14 分】已知直线 l1：y＝－2x＋10 交 y 轴于点 A， 交 x 轴于点 B，二次函数的图象过 A，B 两点，交 x 轴于另 一点 C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)，当 x1>x2≥5 时，总有 y1>y2.