注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)
1 cos x, (1 cos
x),
x x
0 0
F
(
x,
t
)
12 (12x(
t), x
t
),
x x
0, 0,
t t
0 0
第二章 波 动 方 程
第一节 一阶线性方程的特征线解法
考虑连续性方程的初值问题：
常微分方程初值问题：
更一般的，考虑 方程可变为
方程(1.3)的特征线为 利用常微分方程解法, 得到
用特征线方程解一阶偏微分方程的步骤：
第二节 初值问题（一维情形）
2.1 初值问题与两个基本物理原理
考虑初值问题：
可分解为如下三个初值问题：
1 4
xt 2
1 12
t3;
当 x at 0, x 0 时，有
u( x, t )
1
1 a
sin
x
cos
at
x a
1 12 a3
(x3
3ax2t
3a2
xt 2
3a3xt 2
).
§3 初值问题(高维情形)
❖ 三维波动方程的球对称解 ❖ 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法 ❖ 泊松公式的物理意义
得到新定解问题的解
xat
U
( x, t )
1 2
[(x
at)
(x
at)]
1 2a
( )d
xat
t xa(t )
1 2a
0
F (s, )dsd ,
xa(t )
限制在 0 x ,t 0 上，得到：
当 x at 0时，有
u( x, t )
sin
x
cos
at
t
1 a
sin
at
cos
x
定理 2.2： 推论：
2.3 依赖区间、决定区域和影响区域
1）弦振动方程的波动特征：左右传播波与传播速度的有限性 考察自由振动方程：
注：振动的波动性和传播的有限性：弦振动方程的解为左右传播波的 叠加，因此称为波动方程；传播速度有限。
例1 若初值条件为
2 (x)
1
-
0
2
2
试说明无界自由振动方程解的物理意义。
依赖区间
t
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
一点的影响区域如图
t
x x1 at
x x2 at
影响区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x x1 at
x x1
4) 初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。
初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。
x at
( )d
2
2a xat
1
t xa(t )
F(s, )dsd
2a 0 xa(t )
其中，对 x 0, 有
(x) (x), (x) (x), F(x,t) f (x,t).
问题是，对 x < 0,如何定义 (x), (x), F(x,t) ?
或者说，如何把 (x), (x), f (x,t) 延拓到 x < 0,使得
u(0,t)=0 ?
由微积分知，若一个连续函数 g(x)在(, )上是奇函数，
则必有 g(0)=0。 故要使得解 u(x,t)满足u(0,t)=0，只要 u(x,t)是 x 的奇函
数即可。而由命题1知，只要(x), (x), F(x,t)是 x 的奇
函数。
为此，只需要对 (x), (x), f (x,t) 关于 x 作奇延拓。
解：由达朗贝尔公式有 随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-
-
4
2
t1
-
-
4
2
t2
-
-
4
2
2 1
0
2
4
2 1
0
2
4
2
1
2
0
2
4
t3
-
-
4
2
t4
-
-
4
2
t5
-
-
4
2
2 1
0
2
4
2
1
0
2
4
2 1
0
2
4
2） 依赖区间、决定区域和影响区域
看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：
特征线， 斜率1/a
特征线
当 x at 0时，有
xat
u( x, t )
1 2
[ ( x
at)
(x
at)]
1 2a
( )d
xat
t xa(t )
1 2a
0
xa(t )
f (s, )dsd .
当 x at 0, x 0 时，有
x at
u ( x, t )
1 2
[ ( x
at )
(x
at)]
1 2a
2.5 半无界问题（延拓法） 一、 端点固定的情况
(1) 齐次端点条件 考虑定解问题
设此时定解问题为
U
tt
a2U xx
F (x,t),
x ,t 0 (3.13)
U (x, 0) (x),Ut (x, 0) (x), x ,
则在 x ,t 0 上，有
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
§3 初值问题(高维情形)
1. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播，称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题（球面平均法） 考虑初值问题
则齐次方程(3.1)可化为
或者等价地写成
推导思路——球平均法
其中
另一方面，由于 故有
因此，有
更进一步，
(x)
(x), (x),
x x
0, 0.
(x)
(x), (
x),Βιβλιοθήκη x x0, 0.f (x,t), x 0,t 0, F(x,t) f (x,t), x 0,t 0.
通过(x), (x), f (x,t) 的奇延拓，得到定解问题(3.13)的
解 U(x,t)。问题(3.12)的解 u(x,t) 就是 U(x,t)在 t 0, 0 x 上的限制，即