秘密★启用前2013年重庆一中高2014级高二下期期末考试数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0. 5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一：选择题（每题5分，共50分）1．在复平面内，复数122ii -+对应的点的坐标为（ ）A ．（0，1）B ．（0，－1）C ．（45，－35）D ．（45，35）2.设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .若(2)0.8P ξ<=，则(01)P ξ<<的值为（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.63． 51()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2, 则a 的值为 ( )A ．2B ．-2C ．1D ．-14.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin()5,4πρθ+=则1C 与2C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视α的大小而定5.在2013年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：3.2y x a =-+，那么a 的值为 ( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．406.（原创）在五云山寨某天的活动安排中，有钓鱼，烧烤，野炊，拓展训练，消防演练共五项活动可供选择，每班上下午各安排一项，且同一时间内每项活动都只允许一个班参加。

则该天A,B 两个班的活动安排共有多少种（ ） A ．260 B ．120 C ．100 D ．457．(原创)一个口袋中装有大小相同1个红球和3个黑球，现在有3个人依次去每个人摸出一个球，然后放回，若某两人摸出的球的均为红色，则称这两人是“好朋友”，记A=“有两人好朋友”，B=“三人都是好朋友”，则()P B A =（ ）A.110B.14C. 13D. 1128．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数. （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（3）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248° （4）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255° 则这个常数为（ ）A.43B.34C.1D.09.（原创）下图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常工作的概率为12，则从A 到B 这部分电路能正常工作的概率为（ ）A.2732B.5564C. 115128D. 496410.（原创）如图所示有五个岛屿，现决定修4座桥将这五个岛都连接起来，不同的修桥方案有多少种 ( )A ．115种B ．125种C ．135种D ．145种二：填空题（每题5分，共25分）11．在62(x )x -的二项展开式中,常数项等于_______. 12.若随机变量15)3B ξ（，，则______________(32)D ξ+=13.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R 的长为________．14．已知22224a b c ++=，则22a b c ++的最大值为_______. 15．（原创）极坐标方程,(0,0)1cos epp e e ρθ=>>-，可以转化为平面直角坐标方程22x y ex p+=+，该式子可以解释为：点(,)x y 到原点的距离与到x p =-的距离之比为e ，根据圆锥曲线的定义可以得到：1cos epe ρθ=-表示一个以原点为其中一个焦点，以x p =-为对应准线的圆锥曲线。

如图：过椭圆221169x y +=的左焦点C 作12310,,CP CP CP CP ……等分ACB ∠(,A B 分别为椭圆的左右顶点)，记12310,,P P P P ……到左准线的距离分别为12310,,d d d d ……，则123101111d d d d ++++=…… ．三：解答题（共75分） 16．（本题满分13分）电视台为了解某小区居民对春节晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：看直播 看重播 不看 男性 405 270 135 女性12011390（1）用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2份，求至少有1份是女性问卷的概率；（2）现从男性居民的问卷中每次抽取1份问卷出来，然后放回，共抽取5次，求这5次中恰好有3次抽到看过春节晚会问卷的概率．17．（本题满分13分）函数()ln f x ax x b =+在()1,(1)f 处的切线方程为1y x =+（1）求,a b ；（2）求()f x 的最小值．18．（本题满分13分）已知关于x 的不等式22|||1|(0)x x a a a -+-≥>．（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数.（1）求1(1)2mx +展开式的中间项； （2）试比较1221111nn n n a a a a ++++++与12的大小．20．（原创）（本题满分12分）甲乙两人相约打靶，甲射击3次，每次射击的命中率为12，乙射击2次，每次射击的命中率为23，记甲命中的次数为x ，乙命中的次数为y（1）求x y +的分布列和()E x y +（2）猜想两个相互独立的变量,x y 的期望与x y +的期望间的关系，并证明你的猜想． 其中，x 的分布列为：y 的分布列为:21.（本题满分12分）已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1) 求n a ；(2) 求证：(1)(2)(21)21)()f f f n n f n +++-≥-(，（*n ∈N ）．命题人：梁 波 审题人：黄 艳 2013年重庆一中高2014级高二下期期末考试 数 学 答 案（理科） 2013.7 一：选择题 BDCBD，AAADB 二：填空题11． 160-；12. 10 ； 13. 3 ；14.； 15． 9三：解答题（共75分） 16．（本题满分13分）解答： （1）10712523=-C C ;(2)32355511250(3)666P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17．（本题满分13分）解答：（1）因为/()(1ln )f x a x =+易知/(1)22()ln 2(1)11f b f x x x f a =⇒=⎧⇒=+⎨=⇒=⎩（2）/()(1ln )f x x =+，/1()0(1ln )>0f x x x e >⇒+⇒>所以：当10x e （，）∈时()f x 单调递减；当1+x e （，）∈∞时()f x 单调递增。

()f x 的最小值为11()2f e e =-18．（本题满分13分解答：（Ⅰ）解：当1a =时， 不等式为|2||1|2x x -+-≥.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1，2的距离之和大于于2.∴52x ≥或12x ≤∴不等式的解集为51|22x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或. （Ⅱ）解：∵22|||1|1x x a a -+-≥-，∴原不等式的解集为R 等价于221a a -≥， ∴4a ≥或0a ≤，又0a >，∴4a ≥. 19．（本题满分12分）解答：（Ⅰ）122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++依题意11a =，212a m =，3(1)8m m a -=，由2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m =所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为：44458135()28T C x x ==； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32n a n =-,当1n =时，1221241111111111+42nn n n a a a a a a a ++++++=++=>当2n =时，122234111111111169147101402nn n n a a a a a a a ++++++=++=++=< 当3n =时，122345611111111nn n n a a a a a a a a ++++++=+++11117101316=+++131317105102<+<+=猜测：当2n ≥时1221111nn n n a a a a ++++++<12，以下用数学归纳法加以证明： ①2n =时，结论成立，②设当n k =时，122111112kk k k a a a a ++++++<，则1n k =+时，(1)(1)1(1)22(1)1111k k k k a a a a ++++++++++1)(1)1(1)2211111()k k k k k a a a a a （+++++=+++++2122111()k k k a a a ++++-12<2122111()k k ka a a ++++-1111+-23(21)23(22)232k k k =++-+-- 161)(32)64)(32)(61)64)2(61)64)(32)k k k k k k k k k （（（（+-++--++=+++- 161)(32)64)(32)(61)64)12(61)64)(32)2k k k k k k k k k （（（（+-++--++=+<++-综合①②可得，当1n =时，122111112n n n n a a a a ++++++>当2n ≥时，1221111nn n n a a a a ++++++<1220．（原创）（本题满分12分） 解答：（1）x y +的分布列为：()E x y +=20417726=（2）猜想：()E x y +=()()E x E y +证明：因为/()1,1)i j i j P x y p p i n j m （ξ=+=≤≤≤≤()()()()()()()()()()()()////11111212131311////21212222232322////112233////1111111122121()+++++m m m m n n n n n n n m n m E x y x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x y p p x p p y p p x p p y p p x …………………………+=+⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯=++++//11//////221121222222222//////111222++m m m m m m n n n n n n n n m m n m p p y p p x p p y p p x p p y p p x p p y p p x p p y p p x p p y p p x p p y p p ………………++++++++++++++ //////111211122//////221221122//////121122///1122112212(+)()(+)()(+)()=++++()++)()()m m m m m m n n m n m m n n m m n x p p p p p y p y p y p x p p p p p y p y p y p x p p p p p y p y p y p x p x p x p y p y p y p p p p E x E y ………………+?………（……=+++⨯+++++⨯+++++⨯+⨯+=+21.（本题满分12分）解答：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-， ①∴11(1)n n p S p pa ++-=-． ②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=．在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，nn a p =．(2) 由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p --==--． 12121C C C n n n n n a a a ++++1221C C C (1)(1)n nn n n n n p p p p p =++++=+=+．∴12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=1(1)2(1)nn n p p p p -+=⋅-，当2n，1,2,,21k n =-时，2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦1p p -⋅1p p -=1p p -=．∵22k n kn p pp -+，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-．∴12(1)()(2)2()2(1)nn n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-，（当且仅当k n =时取等号）．∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑．（当且仅当1n =时取等号）．综上所述，(1)(2)(21)21)()f f f n n f n +++-≥-(，（*n ∈N ）．。