圆锥曲线中的最值问题一 重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。

二 难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。

三 基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。

四 例题 １．几何法（Ⅰ）有关点的最值问题【练习１】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点到原点距离的最大值是 ；最小值是；相应点的坐标是 ．【练习２】双曲线22221x y a b-=上的点到原点距离的最小值是 ；相应点的坐标是．【练习３】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点到焦点距离的最大值是 ；最小值是；相应点的坐标是 ．【练习４】双曲线22221x y a b-=上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是．【练习５】抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ．【例１】点P 为抛物线上24x y =上一动点，定点(8,7)A ，则点P 到x 轴与到A 点的距离之和的最小值为 ，并求此时点P 的坐标 。

【解析】1019PB PA PC BC PA PF PA BC FA BC +=-+=+-≥-=-=，当且仅当点P 是抛物线与FA 的交点时，9PB PA +=最小。

此时，由243440x yx y ⎧=⎨-+=⎩解得(4,4)P 或1(1,)4P -（舍去．但，是PF PA -的最大值点．P 在线段外，有向线段方向问题。

PF PA -的最小值点即线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点）。

【评析】（１）如何判断点A 的位置。

参照区域判断方法。

（２）折线和化为直线段。

（３）此题无最大值。

（４）若点A 在抛物线内部，如何？（过A 作x 轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与抛物线的交点即为P 点。

此情况也无最大值。

）PF PA -的最大、最小值点？说明：①“兜底”；②细节。

【变式１】F 是椭圆221259x y +=的右焦点，P 是其上一点，定点(2,1)B ，则54PB PF +最小值为 ；PB PF +的最大、最小值为 ．【解析】首先判断定点(2,1)B 的位置． ①54PB PF PB PQ BC +=+≥； ②222a BF PB PF PB PF a a BF '-≤'+=-+'≤+【评析】（１）54PB PF +的最大值存在，但求不出．（涉及４次方程） （２）55(2)44PB PF PB PF a '-=+-能求最小，最大求不出．（３）PB PF -的最大、最小值点？ （４）(2,4)B 点在椭圆外，54PB PF +如何？无法求出．PB PF +最小可求，即连接BF 与椭圆的交点；PB PF +最大也可求，2PB PF PB PF a '+=-+，连接BF '与椭圆的交点；PB PF -的最大值可求，最小值与BF 的垂直平分线和椭圆有无交点有关――有交点可求，无交点存在最小值但求不出．【变式２】已知双曲线2213y x -=上有动点P 和定点(2,1)A ,且F 为双曲线的右焦点，则12PA PF +的最小值 ；PA PF +的最小值（分P 点在左、右支） 。

(8,7)x总结：（１）圆锥曲线上点到定点和焦点的距离和解法：①折线化直线段；②PF 与PF '转化。

（２）任意一点到圆锥曲线的距离最值存在，但求不出． （Ⅱ）有关弦上的点最值问题【例２】定长为3的线段AB 的端点A B ,在抛物线2y x =上移动，则AB 中点M 到y 轴距离的最小值为 。

【解析】AB ≥通径长2p=1，所以AB 1222AC BD AF BF MR MN NR NR NR AB NR ++=-=-=-≥- 315244=-=，当且仅当直线AB 过焦点F 时取最小值。

【评析】（１）最大值不存在。

（２）一般，设AB l =，点,A B 在抛物线22y px =上，讨论AB 中点M 到y 轴距离的最小值？【解析】设直线AB 的方程：,x ky m =+由22,,y px x ky m ⎧=⎨=+⎩ 消去x ，得 2220y pky pm --=．设1122(,),(,)A x y B x y ，由,A B 是直线与抛物线的交点，所以， 22(2)84(2)0pk pm p pk m ∆=+=+> （﹡） 设00(,)M x y ，韦达定理，得 12122,2,y y pk y y pm +==-从而 0,y pk = 200x ky m pk m =+=+．由AB l =，得2222221212(1)[()4](1)(48)l k y y y y k p k pm =++-=++ 224(1)(2)p k pk m =++，∴ 2222221()24(1)8(1)2l l pk m pk p k p k =-=-++．于是，22222022222(1)28(1)28(1)21[(1)].24(1)2pk l p k l px pk m p k p k l pp k p k +=+=+=+-++=++-+（令222(1)4(1)l p k p k +=+，得212l k p+=．为下面分析提供依据） ①当2l p ≥时，022l p x ≥-，当且仅当212l k p =-，且2pm =时，（﹡）成立，取得最小值22l p-；②当2l p <时，由“对号”函数的单调性，得2201()2428l p l x p p p≥+-=，当且仅当0k =，且28l m p =时，（﹡）成立，取最小值28l p． 【变式１】定长为22(2)b l l a a ≤<的线段AB 的端点A B ,在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上移动，则AB 中点M 到右准线距离的最小值为 ；最大值为 。

【解析】1112AA BB MM +=2AF BFe+=22AB le e≥=； 1112AA BB MM +=2AF BFe+= 11114()()222a AF BF AF BF a e e e -++==-2222AB a a l e e e e≤-=- 【评析】（１）当220b l a<<时，如何？（２）双曲线？ ２． 代数法（Ⅰ）焦点弦长的最值问题【练习１】线段AB 是抛物线22y px =的焦点弦，则线段AB 的最小值是 ．【练习２】线段AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点弦，则线段AB 的最小值是；最大值是 。

【例３】线段AB 是双曲线22221x y a b -=的焦点弦，求线段AB 的最小值．【解析】（１）若AB x ⊥，22b AB a=；（２）AB 不垂直x 轴，设直线AB 的方程：()y k x c =+．由22221()x y a b y k x c ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y ，得2222222222()2()0b a k x a k cx a c k b ---+=．22122222a k c x x b a k +=-， 222212222()a c kb x x b a k +=--．22222222222121222222224()(1)[()4](1)[()]a k c a c k b AB k x x x x k b a k b a k +=++-=++--242222224(1)(1)()a b k k b a k +=+-，即222222222222222(1)2211ab k ab ab AB b a k b a k ca k k+===---++． ① 当2220b a k ->即222b k a<时（交点不在同一支），22222222222222211ab ab ab AB a c c a c a ak k ==≥=---++，0k =时取最小值； ② 当2220b a k -<即222b k a>时（交点在同一支），22222222222222211ab ab ab b AB c a a c a ak k ==>=--++，且当AB x ⊥时22b AB a =． 所以，22min 2,b AB a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）其他最值问题 【例４】设实数x 、y 满足x24+y23=1，则x+2y 的最大值为 ；最小值为 。

【变式1】求y-3x-1的范围 。

【变式2】A 、B 是上面椭圆上的两个顶点， C 、D直线AB 的两侧，则四边形ABCD 面积的最大值 。

五 课堂测试：１．已知中心在原点的椭圆经过Ｐ（２，１）点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是 ．２．过椭圆x2a2+y2b2=1（a ＞b ＞0)中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0),,则△ABF 2的最大面积为（ ）A b 2B abC acD bcx３．已知离心率为e1,e2的共轭双曲线x2a2-y2b2=±1(a＞0,b＞0)的离心率，则e1+e2的最小值为。

４．已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)，且与直线x-y+2=0有公共点,求长轴最短的椭圆的方程。

５．若P是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上的一点，12,F F是椭圆的两个焦点，当12F PF∠最大时，P的坐标是．６．给定抛物线y2=2x,设A(a,0), P是抛物线上的一点，且|PA|=d,试求d的最小值。

六课堂小结：圆锥曲线中的最值问题的解法一般分为两种——几何法与代数法，其中所用到的思想方法有函数的思想、换元的方法以及数形结合的思想。

七课后思考：如图：已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段错误!所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以AB为焦点，，当λ∈【23，34】时，求双曲线离心率的最值。