圆锥曲线中的最值问题主讲：秦岭老师9816秦岭数学18届群：3071813569816秦岭数学19届群：1512194719816秦岭数学20届群：481591151一、知识回顾1．圆锥曲线的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|；（2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|；（3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d .2. 直线与圆锥曲线的位置关系将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．3．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|ak x x x x k ∆+=-++=221221214)(1 //2212212122114)(1111ak y y y y k y y k ∆+=-++=-+=二、典例剖析方法一：利用圆锥曲线定义和平面几何知识求最值（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）例1. 已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1内有一点M (2，3)，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，P 为椭圆C 上一点，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________，最小值为________.解析 由椭圆的定义，得|PF 1|＝2a －|PF 2|，即|PF 1|＝10－|PF 2|， 所以|PF 1|＋|PM |＝10＋|PM |－|PF 2|.由三角形中“两边之差小于第三边”可知，当P ，M ，F 2三点共线时，|PM |－|PF 2|取得最大值|MF 2|，最小值－|MF 2|. 由椭圆的标准方程x 225＋y 216＝1可得点F 2(3，0).又|MF 2|＝(2－3)2＋(3－0)2＝10，所以|PF 1|＋|PM |取得最大值10＋10，最小值10－10.例2.（12四川）椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________.【解析】易证当直线x m =过右焦点（1,0）时，FAB ∆的周长最大，1m ∴=.将1x =代入，解得32y =±； 所以此时3232221=⨯⨯⨯=∆FAB S .方法二：利用二次函数求最值例3.（13全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)右焦点的直线30x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为22=163x y +. (2)由2230,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解得43,33,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,3.x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y=x+n ，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.08722>-=∆∴n ，|CD |＝24342||93x x n -=-. 所以四边形ACBD 的面积2186||||929S CD AB n =⋅=-.当n ＝0时，S 取得最大值863.即四边形ACBD 面积的最大值为863.方法三：利用基本不等式求最值例4.（16四川）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 斜率的最大值为（ ）A ．33B ．23C ．22D ．1【解析】如图，由题可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设P 点坐标为200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭显然，当00y <时，0OM k <；00y >时，0OM k >， 要求OM k 最大值，不妨设00y >. 则()2001112,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭20002223222263OM y k y p y p p y p ===++≤，当且仅当2202y p =等号成立. 故选C例5.（17课标卷Ⅰ）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【解析】设直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得0)42(22221=++-k x k x k∴21212142k k x x +=+，同理直线2l 与抛物线的交点满足1,4221222243-=+=+k k k k x x 且 由抛物线定义可知：p x x p x x DE AB +++++=+4321221222222212121224244416482816k k k k k k k k ++=++=++≥+=当且仅当121k k =-=（或-1）时，取得等号. 所以|AB |+|DE |的最小值为16.例6. (14四川)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中 O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3C.1728D.10yxOFPM解析 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立. 故选B.),2),0,AB ,,,2:222a p p n n x x pn y y n a OB OA B A px y B A B A +±==⋅-=⋅=⋅=（过定点（则直线若上两点对于抛物线结论方法四：换元法求最值例7.（14全国卷Ⅰ）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.注：若分式的分子、分母为一次式和二次式，一般是设一次式为t,进行换元。

例8.（16全国卷Ⅰ）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解析：圆A 整理为()22116x y ++=，∴A ()1,0-，如图所示，BE AC ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠，EBD D ∴=∠∠，则EB ED =，4AE EB AE ED AD ∴+=+==AB =>2所以E 的轨迹为一个椭圆，2a=4,c=1，∴b 2=3，∴22143x y +=又直线l 与x 轴不重合，所以点E 不在x 轴上，∴点E 的轨迹方程为22143x y +=(0y ≠).⑵ 221:143x y C +=；设:1l x my =+，又PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=；则()()2222222363634121||1||13434M N m m m MN m y y mm m +++=+-=+=++；圆心A 到PQ 距离()22|11||2|11m m d m m---==++，所以2222224434||2||21611m m PQ AQ d m m +=-=-=++， 4312443124143443)1(12212122222222++=++=++⋅++⋅=⋅=∴m m m m m m m m PQ MN S MPNQ1343111222+=+∴-=≥=+t m t m t t m ，且，则设[)38,12131241324∈+=+=∴tt t S MPNQ方法五：利用正余弦函数的有界性求最值例6.（17课标卷Ⅰ）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10.sin 2cos 1cos 1,cos 1,cos 12ααααααpp p BF AF AB pBF p AF AB =++-=+=∴+=-=，根据定义可求得的倾斜角为结论：设直线16)2(sin 414cos 4sin 42(sin 2sin 222222≥=+=±+=+∴ααααπα）p p DE AB例8.（16全国卷Ⅰ）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．.cos 2,cos )cos(cos ,cos 224)2(,)0(122222222222222θθθπθθθc a ab MN c a b c a b NF c a b MF c MF c MF MF a MFO N M l F O b a b y a x -=+=--=∴-=⋅⋅-+=-=∠>>=+，整理得则由余弦定理可得设两点，，交椭圆于作直线为坐标原点，过一焦点中，结论：椭圆[)[).38,12,1,0cos 0,cos 42421,cos 44cos 4162cos 2cos ,PQ A .cos 41222222∈∴∈∴∈-==∴-=-=∴==-=MQNP MQNP S PQ MN S PQ AB d d MN θπθθθθθθθ），，（又，则的距离为到直线设圆心由上结论可得小结：圆锥曲线中求最值的常用方法有：1、定义+平面几何知识；2、二次函数；3、基本不等式；4、换元法；5、三角函数有界性。