圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.(文)已知F 是椭圆x225＋y29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( ) A ．6 B ．15 C ．20 D ．12[答案] D [解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b2＋c22＝a22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P 是椭圆x225＋y29＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴(|PM |＋|PN |)min ＝10－2＝8，(|PM |＋|PN |)max ＝10＋2＝12，故选C.点评：∵圆外一点P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心M 、N ，直线PM 、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM |＋|PN |＋两圆半径和，最小值为|PM |＋|PN |－两圆半径和．4、(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2[答案] C [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1. 5、已知点F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.故填9.答案 96、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A.2B.3C.115D.3716【解析1】直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25|604|min=+-=d ，故选择A 。
【解析2】如图，由题意可知22234d ==+【答案】A二、目标函数法1、椭圆x29＋y225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是________． 解析：设椭圆上点P 到两焦点的距离分别为u 、v ，则u ＋v ＝10，u v ＝m ；设∠F 1PF 2＝θ，由余弦定理可知cos θ＝错误!，即u 2＋v 2－2u v cos θ＝64⇒m ＝错误!，显然，当P 与A 或B 重合时，m 最大．答案：(－3,0)或(3,0)2、设F 1、F 2分别是椭圆x24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF1→·PF2→的最大值和最小值；[解析] (1)由已知得：F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设点P(x ，y)，则x24＋y 2＝1，且－2≤x ≤2.所以PF1→·PF2→＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－x24＝34x 2－2， 当x ＝0，即P(0，±1)时，(PF1→·PF2→)min ＝－2；当x ＝±2，即P(±2,0)时，(PF1→·PF2→)max ＝1. 3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A [解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P(x ，y)(x ≥1)，则PA1→·PF2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝4x 2－x －5.令f(x)＝4x 2－x －5，则f(x)在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1→·PF2→取最小值，最小值为－2.4．(2011·安徽模拟)点A 、B 分别为椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF.(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P 的坐标是(x ，y)，则AP →＝(x ＋6，y)，FP →＝(x －4，y)．由已知得错误! 消去y 得，2x 2＋9x －18＝0，∴x ＝32或x ＝－6由于y>0，只能x ＝3，于是y ＝53，所以点P 的坐标是(3，53)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得：m ＝2∵椭圆上的点(x ，y)到点M 的距离是d ，∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15，由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时d 取最小值15.5．(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______． [答案] (0,0) [解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y24，y ，则AP →＝()－y24－2，y ，BP →＝()－y24－4，y ，AP →·BP →＝()－y24－2()－y24－4＋y 2＝y416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)． 6、如图，已知抛物线2:E y x=与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C、D 四个点。
（Ⅰ）求r 的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标。
解：（Ⅰ）将抛物线2:E y x =代入圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程，消去2y ，整理得227160x x r -+-=抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+>--016070)16(449221212r x x x x r 即⎪⎩⎪⎨⎧<<->-<442525r r r 或。
解这个方程组得425<<r 15(,4)r ∈. （II ）设四个交点的坐标分别为11(,)A x x 、11(,)B x x -、22(,)C x x -、22(,)D x x 。
则由（I ）根据韦达定理有212127,16x x x x r +==-，15(,4)r ∈ 则2112211212||()||()2Sx x x x x x x x =⋅⋅-+=-+ 222212121212[()4](2)(7216)(415)S x x x x x x x x r r ∴=+-++=+--令216r t -=，则22(72)(72)S t t =+- 下面求2S 的最大值。
方法2：设四个交点的坐标分别为11()A x x 、11(,B x x -、22(,C x x -、22()D x x则直线AC 、BD 的方程分别为)(),(112121112121x x x x x x x y x x x x x x x y --+=+----=-解得点P 的坐标为)0,(21x x 。
设21x x t =，由216r t-=及（Ⅰ）得)41,0(∈t 由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积||)22(212121x x x x S -+=则]4))[(2(2122122112x x x x x x x x S-+++=将721=+x x ，t x x =21代入上式，并令2)(S t f =，等)270(34398288)27()27()(232<<++--=-+=t t t t t t t f ，∴)76)(72(2985624)`(2-+-=+--=t t t t t f ，令0)`(=t f 得67=t ，或27-=t （舍去） 当670<<t 时，0)`(>t f ；当67=t 时0)`(=t f ；当2767<<t 时，0)`(<t f 故当且仅当67=t时，)(t f 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为)0,67(。
7、已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点。