2019年中考数学真题分类训练——专题二十一：规律探索题
一、选择题
1．（2019菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是
A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C
2．（2019张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是
A．（，-）B．（1，0）
C．（-，-）D．（0，-1）
【答案】A
3．（2019武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是
A．2a2-2a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2+a
【答案】C
4．（2019枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图
中空白处的是
A．B．C．D．
【答案】D
5．（2019达州）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为=-1，-1的
差倒数，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，依此类推，
a
的值是
2019
A．5 B．- C．D．
【答案】D
6．（2019济宁）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=-1，-1的差
倒数是．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那
么a1+a2+…+a100的值是
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
【答案】A
7．（2019株洲）从-1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K={a k，
b
}（其中k=1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i={a i，k
b
}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值
i
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
8．（2019十堰）一列数按某规律排列如下：，…，若第n个数为，则n=
A．50 B．60 C．62 D．71
【答案】B
9．（2019常德）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
10．（2019贺州）计算的结果是
A．B．C．D．
【答案】B
二、填空题
11．（2019天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．
【答案】6058
12．（2019衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为__________．
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F2019的坐标为__________．
【答案】（1）；（2）
13．（2019连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为__________．
【答案】（2，4，2）
14．（2019广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°……按此规律进行下去，则点A2019的坐标为__________．
【答案】（-22017，22017）
15．（2019怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是__________．
【答案】n-1
16．（2019滨州）观察下列一组数：
a
=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，
1
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n=__________．（用含n的式子表示）
【答案】
17．（2019台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个．
【答案】3
18．（2019黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是__________．
【答案】625
19．（2019安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________．
【答案】2019
20．（2019咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是__________．
【答案】-384
21．（2019海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__________，这2019个数的和是__________．
【答案】0；2
22．（2019武威）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________．
【答案】13a+21b
23．（2019甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．
【答案】1010
24．a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1=4，第5个数a5=5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是__________．
【答案】6
三、解答题
25．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+22019②，
②-①得2S-S=S=22019-1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+a n的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．解：（1）设S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②，
②-①得2S-S=S=210-1，
∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，
则3S=32+33+34+35+…+311②，
②-①得2S=311-1，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=，
故答案为：．
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，
则aS=a+a2+a3+a4+…+a n+a n+1②，
②-①得：（a-1）S=a n+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1，
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+a n=．
26．（2019安徽）观察以下等式：。