三角函数的概念
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( ) A ．sin θ
2
B ．cos θ2
C ．tan θ2
D ．cos2θ
解析：∵2k π<θ<π
2
＋2k π(k ∈Z )，
∴k π<θ2<π
4
＋k π(k ∈Z )，4k π<2θ<π＋4k π(k ∈Z )．
可知θ2是第一、三象限角，sin θ2，cos θ2都可能取负值，只有tan θ
2能确定为正值．
2θ是第一、二象限角或y 轴正半轴上的角，cos2θ可能取负值． 答案：C
2．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫
π4，π
C.⎝⎛⎭⎫π4，54π
D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2
解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x >cos x ，则x ∈⎝⎛⎭⎫
π4，54π. 答案：C
3．已知角2α顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点⎝⎛⎭⎫－12，3
2，2α∈
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：∵A 、B 为锐角△ABC 的两内角， ∴A ＋B >90°
∴⎩⎪⎨⎪⎧
A >90°－
B B >90°
－A
∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin B >sin(90°－A )＝cos A ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0 ∴点P 在第二象限． 答案：B
5．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 解析：设中心角为θ，则根据题意得：
⎩⎪⎨⎪⎧
2r ＋θr ＝6 ①
12θr 2＝2 ②
由①得r ＝62＋θ，代入②得12θ·36(2＋θ)2
＝2
解得θ＝1或θ＝4，可知都适合． 答案：C
6．设a ＝sin π6，b ＝π6，c ＝cos π4，d ＝π4，e ＝π3，f ＝tan π
4，则下列各式中正确的是( )
A ．a >b >c >d >e >f
B ．e >f >d >c >b >a
C ．e >f >c >d >b >a
D ．以上答案都不对
解析：a ＝12，b ≈0.523，c ＝2
2＝0.707， d ≈0.78，e ＝1.046，f ＝1，故选B.
答案：B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在内终边与θ
4角的终边相同的角是__________．
解析：由已知θ＝2k π＋8π
5(k ∈Z )，
∴θ4＝k π2＋2π
5
(k ∈Z )， 由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165，
∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3，
∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π. 答案：25π，910π，75π，1910
π.
8．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为13，则内切圆面积与扇形面积之比为__________．
解析：如右图，两半径之比为13， 即OA O ′B ＝31， ∴OO ′O ′B ＝21， ∴∠BOO ′＝π6，∠COD ＝π3，
S 圆
S 扇＝πr 12
12·π3·r 2
2＝2 3.
答案：2 3
9.下列4个判断：
①α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2时，sin α＋cos α>1； ②α∈⎝⎛⎭⎫0，π
4时，sin α<cos α； ③α∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2时，sin α>cos α；
④α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，若sin α＋cos α<0，则|cos α|>|sin α|. 其中判断正确的序号是________(将正确的都填上)． 解析：①当α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2时，则sin α＋cos α>1正确；
②当α∈⎝⎛⎭⎫0，π
4时，则sin α<cos α正确； ③当α∈⎝⎛⎭⎫
5π4，3π2时，则sin α>cos α错误； ④当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，sin α>0，cos α<0. 又sin α<－cos α，即|cos α|>|sin α|正确． 综上所述，正确的序号为①②④. 答案：①②④ 10．已知下列四个命题
(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；
(2)若α＞β且都是第一象限角，则tan α＞tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ
2＞0；
(4)若sin x ＋cos x ＝－7
5，则tan x ＜0.
其中正确命题的序号为____________． 解析：(1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝
25＝2
5
5； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝
－25
＝－2
55，故(1)错误．
(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝3
3，tan β＝3，故tan α＞tan β不成立，(2)错
误．
(3)由θ是第二象限角，则2k π＋π
2＜θ＜2k π＋π，
则k π＋π4＜θ2＜k π＋π2即θ
2为一、三象限角，在一、三象限
sin θ2，cos θ2同号，故sin θ2·cos θ
2
＞0成立，(3)正确． (4)由sin x ＋cos x ＝－7
5＜－1可知x 为第三象限角，故tan x ＞0，(4)不正确．
答案：(3)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点
P (－1,2)，求sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋2π
3的值． 解析：∵P (－1,2)是角α终边上一点，得 r ＝|OP |＝
(－1)2＋22＝ 5.
∴sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－5
5，
sin2α＝2sin αcos α＝2×255×⎝⎛⎭⎫－5
5＝－45.
cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－1552－⎝⎛⎭⎫2552＝－3
5
， 那么sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＝sin2αcos 2π3＋cos2αsin 2π
3 ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝4－3310.
12．设sin α|sin α|＋|cos α|cos α＋tan α|tan α|＋|cot α|
cot α＝0，确定sin(cos α)·tan ⎝⎛⎭⎫sin α2的符号． 解析：由sin α|sin α|＋|cos α|cos α＋tan α|tan α|＋|cot α|
cot α＝0，
知α是第三象限角，即2k π＋π<α<2k π＋3π
2(k ∈Z )，
∴k π＋π2<α2<k π＋3π
4(k ∈Z )，
当k ＝2n 时，α
2是第二象限角，
此时sin(cos α)<0，tan ⎝⎛⎭⎫sin α
2>0， 故原式为负值(n ∈Z )，
当k ＝2n ＋1时，α
2是第四象限角，
此时sin(cos α)<0，tan ⎝⎛⎭⎫sin α
2<0， 故原式为正值(n ∈Z )．
13．角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(ab ≠0)，角β的终边上的点Q 与点A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·sec β＋tan α·cot β＋sec α·csc β的值．
分析：由A 点坐标的对称性确定P ，Q 的坐标，按三角函数的定义确定三角函数值． 解析：∵P 和A (a ，b )关于x 轴对称， ∴P 点坐标为(a ，－b )．
又Q 和A (a ，b )关于直线y ＝x 对称， ∴Q 点坐标为(b ，a )．由三角函数定义，知
sin α＝
－b
a 2＋
b 2
，sec β＝
a 2＋
b 2b ，tan α＝－b a ，cot β＝b
a
，sec α＝a 2＋b 2
a
，csc β＝a 2＋b 2
a
. 故sin α·sec β＋tan α·cot β＋sec α·csc β
＝
－b a 2＋b
2
·a 2＋b 2b ＋－b a ·b a ＋
a 2＋
b 2a ·a 2＋b 2
a
＝－1－b 2a 2＋a 2＋b
2
a
2＝0.
点评：考查三角函数的定义及应用，根据三角函数的定义，用坐标表示各种三角函数值，将三角函数的运算转化为坐标的运算．。