“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━一、命题逻辑基本知识（5分）1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。
共2分）（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：⌝p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。
（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→⌝p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：⌝r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。
（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。
共1分）（0）A：(⌝(p↔q)→((p∧⌝q) ∨(⌝p∧q)))∨ r（1）B：(p∧⌝(q→p)) ∧(r∧q)（2）C：(p↔⌝r) →(q↔r)（3）E：p→(p∨q∨r)（4）F：⌝(q→r) ∧r解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。
共2分）（0）设y=2|x|，x为实数。
推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。
发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，x为实数。
令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。
由此，p为假，q为真。
本题推理符号化为：(p→q) ∧q→p。
由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。
（1）若2和3都是素数，则6是奇数。
2是素数，3也是素数。
所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。
由此，p=1，q=1，r=1，s=0。
本题推理符号化为：((p ∧ q) →s) ∧p ∧q) →(r ∨ s)。
计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。
二、命题逻辑等值演算（5分）1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。
共2分）（0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(⌝q∧⌝r)))的主析取范式。
解：p→((q∧r) ∧(p∨(⌝q∧⌝r)))⇔⌝p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧⌝q∧⌝r)⇔⌝p∨(q∧r∧p) ∨0 ⇔ (p∧q∧r) ∨⇔ (⌝p∧1∧1) ∨(q∧r∧p)⇔ (⌝p∧(q∨⌝q)∧(r∨⌝r)) ∨(q∧r∧p) ⇔ (⌝p∧(q∨⌝q)∧(r∨⌝r)) ∨m7⇔ (⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨m7⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m7.（1）求公式⌝(⌝(p→q)) ∨(⌝q→⌝p)的主合取范式。
解：⌝(⌝(p→q)) ∨ (⌝q→⌝p)⇔(p→q) ∨ (p→q) ⇔ (p→q)⇔⌝p∨q ⇔ M2.（2）求公式(p→(p∨q)) ∨r的主析取范式。
解：(p→(p∨q)) ∨r ⇔⌝p∨ (p∨q) ∨r ⇔ (⌝p∨p∨q∨ r) ⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。
共3分）（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。
乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。
丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。
村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。
赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。
判断公式F⇔( (p1∧⌝q2) ∨ (⌝p1∧q2)) ∧ ( (p3∧⌝q1) ∨ (⌝p3∧q1)) ∧ ( (p2∧⌝r1) ∨ (⌝p2∧r1)) ⇔⌝p1∧q2∧p3∧⌝q1∧⌝q2∧r1⇔1⇔q2∧p3∧∧r1，由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。
说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。
一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。
（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。
选派条件是：①若赵去，钱也去。
②李、周两人必有一人去。
③钱、孙两人去且仅去一人。
④孙、李两人同去或同不去。
⑤如周去，则赵、钱也同去。
如何选派他们出国？解：①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。
②(1) (p→q) (2) (s∨u) (3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) (5) (u→(p∧q))③(1) ~ (5)构成的合取式为：A= (p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧ ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)由此可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。
三、命题逻辑推理（5分）在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。
共5分）（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。
现在的情况是张老师与李老师都要出国。
所以，王老师不出国，则孙老师出国。
解：形式化：p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。
前提：p→(q→r)，p∧q结论：⌝r→s证明：①p→(q→r) 【前提引入】②⌝p∨ (⌝q∨r) ⇔ p∧q→r 【①置换】③p∧q 【前提引入】④r 【②③假言推理】⑤r ∨s 【④附加规则】⑥⌝⌝ r∨s 【⑤置换】⑦⌝r→s 【⑥置换】证毕。
（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。
所以，李同学不是乐山人。
解：形式化：p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人；s：王同学喜欢吃雅鱼。
前提：(p∧q)→ r，r→ s，⌝s，p结论：⌝q证明：①(p∧q)→ r 【前提引入】②r→ s 【前提引入】③(p∧q)→ s 【①②假言三段论】④⌝s 【前提引入】⑤⌝(p∧q) 【③④拒取式】⑥⌝p∨⌝q 【⑤置换】⑦p 【前提引入】⑧⌝q 【⑥⑦析取三段论】证毕。
（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。
只有n是偶数，m才大于6。
现有n大于5。
所以，若m大于6，则m是奇数。
解：形式化：p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m大于6。
前提：(p∧q)→ r，s→ p，q结论：s→ r证明：①q 【前提引入】②⌝s∨q 【①附加规则】（这是证明的关键）③s→ q 【②置换】④s→ p 【前提引入】⑤(s→ q）∧q（s→ p）【③④合取】⑥s→(p∧q ) 【⑤置换】⑦(p∧q)→ r 【前提引入】⑧s→r 【⑥⑦假言三段论】证毕。
四、一阶逻辑的基本概念（5分）1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。
共2分）（0）人人都生活在地球上。
解：∀x(F(x) →G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x生活在地球上。
（1）有的人长着金色的头发。
解：∃x (F(x) ∧G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x长着金色的头发。
（2）没有能表示成分数的无理数。
解：⌝∃x (F(x) ∧G(x))，其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数。
（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。
解：⌝∀x∀y (F(x) ∧ G(y)→S(x,y))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。
（4）有的学生不住在校内。
解：∃x (F(x) ∧⌝G(x))，其中，F(x)：x是学生，G(x)：x住在校内。
（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。
解：∃x (F(x) ∧∀y(G(x)→S(x,y)))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。
2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。
共3分）（0）∀x(F(x) ∨ G(x))解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。
则在I1解释下，∀x(F(x) ∨ G(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是中国人，G(x)：x是美国人。
则在I2解释下，∀x(F(x) ∨ G(x))为假命题。
（1）∃x(F(x) ∧ G(x) ∧ H(x))解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是教师，G(x)：x是党员，H(x)：x是班主任。
则在I1解释下，∃x(F(x) ∧ G(x) ∧ H(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，H(x)：x是班主任。
则在I2解释下，∃x(F(x) ∧ G(x) ∧ H(x))为假命题。
（2）∃x(F(x) ∧∀y( G(y) ∧ H(x,y)))解：取解释I1：个体域为整数集合，F(x)：x是正整数，G(x)：x是负整数，H(x,y)：x比y大。
则在I1解释下，∃x(F(x) ∧∀y( G(y) ∧ H(x,y)))为真命题。
取解释I2：个体域为自然数集合，F(x)：x是奇数，G(x)：x是偶数，H(x,y)：x比y大。
则在I2解释下，∃x(F(x) ∧∀y( G(y) ∧ H(x,y)))为假命题。
五、一阶逻辑等值演算（5分）1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。
共1分）（0）证明等值式：∀x(A(x)→B)⇔∃x A(x)→B。
证明：∀x(A(x)→B) ⇔∀x(⌝A(x)∨B) ⇔∀x⌝A(x)∨B⇔⌝∃x A(x)∨B ⇔∃x A(x)→B。
（1）证明等值式：∃x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B。
解：∃x(A(x)→B) ⇔∃x (⌝A(x)∨B) ⇔∃x⌝A(x)∨B⇔⌝∀x A(x)∨B ⇔∀x A(x)→B2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。
共2分）（0）⌝∀x(F(x) →G(x))解：⌝∀x(F(x) →G(x)) ⇔∃x⌝(⌝F(x) ∨G(x)) ⇔∃x (F(x) ∧⌝G(x))（1）⌝∃x(F(x) ∧ G(x))解：⌝∃x(F(x) ∧ G(x)) ⇔∀x ⌝(F(x) ∧G(x)) ⇔∀x (⌝F(x) ∨⌝G(x)) ⇔∀x (F(x) →⌝G(x))（2）∃yF(x,y) ∧∀xG(x,y,z)解：∃yF(x,y) ∧∀xG(x,y,z) ⇔∃yF(u,y) ∧∀xG(x,v,z) ⇔∃y ∀x (F(u,y) ∧G(x,v,z))（3）∀xF(x) →∃y (G(x,y) ∧H(x,y))解：∀xF(x) →∃y (G(x,y) ∧H(x,y)) ⇔∀zF(z) →∃y (G(x,y) ∧H(x,y))⇔∀z(F(z) →∃y (G(x,y) ∧H(x,y))) ⇔∀z∃y(F(z) →(G(x,y) ∧H(x,y)))3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。