反之，若 an 发散，则 bn 发散.
n1
n1
证明
(1) 设 bn
an bn ,
n1
且 sn a1 a2 an b1 b2 bn
即部分和数列有界
an收 敛. n1
(2) 设 sn (n ) 且 an bn ,
则 n sn 不是有界数列
bn发 散. n1
p
级
数
当 当
p p
1时 1时
, ,
收敛 发散
补充：积分审敛法
例２ 判定级数
1
的敛散性
n1 n 2n
解 由于
11 n 2n 2n (n 2)
而等比级数
1
n1 2n
收敛，由比较审敛法知原级数收敛．
例 3 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
(1) n1
n;
ln(1 1 )
(2) n1
n;
解
(1)
n 时，1 cos 1 n
～
1 2n2
而
1 收 敛 ， 故原级数收敛
n1 2n2
(2) n
时，ln(1
1)～ n
1 n
而
1发散，
故原级数发散
n1 n
注: ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用的等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
n!
(2) n1 10n ;
(1)若an与bn是同阶无穷小，则 an与 bn同敛散
特别地，若an ~ bn (等价无穷小) 则 an与 bn同敛散 (2)若an o(bn ), 且 bn收敛，则 an收敛 (3)若bn o(an ), 且 bn发散，则 an发散
例 5 判定下列级数的敛散性:
(1 cos 1 )
an
当 1时, 取 1 , 使r 1,
, aN 2 ra N 1 , aN 3 ra N 2 r 2aN 1 ,
aN m r m1aN 1 , 而 级 数
r
m
1a
N
收
1
敛,
m1
aN m an收 敛, 故原级数收敛
m 1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
重要基本级数: 几何级数, p-级数, 调和级数.
比较审敛法的不便: 须有参考级数(基本级数); 需要建立不等式.
2.比较审敛法的极限形式:
设 an 与 bn 都是正项级数, 如果
n1
n1
lim an b n
n
k,
则(1) 当0 k 时,二级数有相同的敛散性;
当n N时,
an1
ran
an,
lim
n
an
0.
故原级数发散
时类似可证。
比值审敛法的优点:
不必找基本级数. 直接从级数本身的构成——即一般项来判定其敛散性
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例 级数 1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
an
2 (1)n 2n
3 2n
bn ,
级数 an
n1
n1
2 (1)n 2n
收 敛,
但
an1 an
2 (1)n1 2(2 (1)n )
un ,
lim
n
u2
n
1 6
,
lim
n
u2
n1
3, 2
lim an1 a n
n
lim
n
un
不 存 在.
例 6 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
(2)(3)同理可证.
例 4 判定下列级数的敛散性:
(1) sin 1 ;
n1 n
sin 1
1
(2) n1 3n n ;
解 (1) lim n
n 1
1,
n
1
(
2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim
n
1
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
3. 比阶审敛法 设an 0, bn 0(n ),
(2) 当k 0时，若 bn收敛,则 an收敛;
n1
n1
(3) 当k 时, 若 bn 发散,则 an 发散.
n1
n1
证明
(1) 由lim an k b n
n
对于 k 0,
2
N , 当n N时, k k an k k
2 bn
2
即
k 2
bn
an
3k 2
bn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
常数项级数审敛法
在研究级数时，直接由定义来判定级数的敛 散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法 来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法
正项级数
任意项级数
第二节
正项级数及其审敛法
一、定义与基本定理 1.定义: 如 果 级 数 an中 各 项 均 有an 0， n1 这种级数称为正项级数. 许多级数的敛散性判定问题 都可归结为正项级数的敛散性问题
定理证毕.
推论: 若 an 收敛(发散)
n1
且
bn
kan (n
N
)(kan
bn ) ,则
bn
n1
收敛(发散).
例 1 讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.
解
设
p
1,
1 np
1, n
1发 散 ， 则p 级 数 发 散. n1 n
设 p 1,
由图可知
1 np
n dx x n1 p
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列. 基本定理
正 项 级 数 收 敛 部 分 和 所 成 的 数 列 sn有 界 .
二、审敛法则
1.比较审敛法
设 an和 bn均 为 正 项 级 数 ，
n1
n1
且 an bn (n 1, 2, ) ,若 n1 bn 收敛,则 n1 an 收敛；
y
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 dx 1 xp
n dx x n1 p
y
1 xp
(
p
1)
o 1234
x
11
1
sn 1 2 p 3 p n p
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
1
n dx 1 xp
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1 1 p1
即sn有界, 则p 级数收敛.
2
4.比 值 审 敛 法(达 朗 贝 尔 D’Alembert 判 别 法 )：
设
an
n1
是正项级数,如果
lim
n
a n1 an
(常 数 或 )
则 1 时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 an1 ,
an
即 an1 (n N )