讨论
p
级数
1 n1 n p
的敛散性,
其中
p
为正的常数.
解
当 p 1时,
有
1 n
1 np
(n
1 , 2 ,
).
因为调和级数 1 发散, 则由比较判别法可知,
n1 n
p
1时,
p 级数
1 n1 n p
发散.
y
1 xp
当 p 1 时, 如图所示,
O 1 2 3 4x
p 级数从第2项到第n项的和为阴影部分台阶形的面积,
且该面积小于函数
f
(x)
1 xp
在 [1,n] 上的曲边梯形
面积, 于是有
Sn1n k2源自1 kpn1
k2
k1 k1 x pdx
n 1
1 1 x pdx
1 1 n1 p p 1 p 1
1 1 p , p1 p1
由定理7.2.1可知,
当
p
1时,
p 级数
1 n1 n p
收敛.
例如,级数
即正项级数的部分和数列单调增加.
定理7.2.1(正项级数收敛原理)正项级数收敛 的充分必要条件是它的部分和数列有上界.
证明:设级数 为un 正项级数, n1
因此部分和数列 sn单 调递增.
pp35 准则3
于是,若 s有n 上界,则根据单调有界数列 必有极限,
可知极限
lim
n
s存n 在,从而
收敛un .
(3) 当 时1 ,级数可能收敛,也可能发散.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 注意: 当 时1 比值审敛法失效;
如
p 级数
1 n1 n p
,
对于 p 的任意给定值, 都有
1
lim un1 n un
lim
n
(n
1) 1
p
1
np
而当
p
1时,
n1
1 np
收敛,
当
p
1时,
1 n1 n p
6n 5
(4) n1 (3n 2)(2n 1)(n 1)
收敛
1
(5) n1 nn n
发散
(6) n1 sin 3n
收敛
定理7.2.4. （比值审敛法 达朗贝尔判别法)
设 为un 正项级数,且
n1
则
lim un1 u n
n
(其中
允许 为
)
(1) 当 时1 ,级数收敛；
(2) 当 时,级数发散；
常用于比较的级数: 几何级数, p-级数, 调和级数
例3 判别下列级数的敛散性：
1
(1) sin； (2) n1 n
1
.
tan2
π
n1
n
sin
解 (1) lim n 1,
n 1
n
而调和级数
n1
发n1 散,
所以原级数发散.
(2) 当 n 时， tan,π则～ π
nn
，tan2
π n
～
π n
2
即
有 n
的部vn 分和分别为 与 s,则n
n1
sn u1 u2 L un v1 v2 L vn n
于是,根据定理7.2.1,
若v收n 敛,则
有 n上 界,从而
有上sn界 ,
n1
推得u收n 敛.若 n1
发u散n ,则
n1
无上s界n ,
从而 n无 上界,推得 发v散n .
n1
例1
发散,
故当 时1 比值审敛法失效.
例4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ;
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
1
解
(1)
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 收1 敛. n1 n!
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
设 un与 vn为两个正项级数,且
n1
n1
lim un l, n vn
则 (1) 若 0 l ,则二级数有相同的敛散性;
(2)若 l ,0则当 收敛vn 时,可得
n1
(3) 若 l ,则当 发散vn时,可得
n1
收敛;un
n1
发散. un
n1
定理 7.2.3 表明， 无穷级数收敛与否最终取决于级数一般项趋
n1 10
(n ),
故级数
n1
1发n0!n散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
而级数
n1
n收12 敛.
故级数
1收敛.
n1 2n (2n 1)
7.2 常数项级数的审敛法(1)
正项级数及其审敛法
1.定义
各项都非负的级数,通常称为正项级数. 各项都非正的级数,通常称为负项级数. 正项级数、负项级数统称为保号级数. 设级数 u1 u2 L un L 是一个正项级数， 由 un 0 ( n 故1, 2有,L )
sn1 sn un1 sn ( n 1, 2,L )
则(1) 当 时1,级数收敛；
n1
若Sn无 上界,则
lim
n
s,n从 而 有
发散. un
n1
定理7.2.2. (比较审敛法) 设两个正项级数 un
n1
和 v满n 足 un vn (n 1，2，L )
n1
则 (1)由
收vn敛,可推出
n1
(2)由 发un散,可推出
n1
收敛un； n1
发散vn. n1
证明：设级数 与un n1
练习2—pp185.8.用比值审敛法判定下列 级数的敛散性.
2n 2
(1)
n1
2n
n!
(2) n1 3n
(3)
n1
n3
sin
2n
2n n!
(4)
n1
nn
收敛 发散 收敛 收敛
定理7.2.5. 根值审敛法(柯西判别法)
设 为un正项级数,且 n1
lim n
n
un
(其中
允许 为
)
n1
，n12
是1收敛的;级数
n1 n n
是发 散1 的.
n1 n
例2 判别级数
1 的敛散性.
n1 n(n 1)
解 因为
1 1 , n 1,2, n(n 1) n 1
且
1
1 发散.
n1 n 1 n2 n
由比较判别法知, 原级数发散.
定理7.2.3. （比较审敛法的极限形式）
tan2 π
lim
n
n π 2
1
,而级数
n1
收nπ 敛2 ，
n
所以原级数 tan收2 敛π .
n1
n
练习1—pp184.7.用比较审敛法或其极限 形式判定下列级数的敛散性.
1
(1) n1 3n 2
发散
2
(2)
3n
n1
4
收敛
n2 1
(3)
n3
n1
4
发散
练习1—pp184.7.用比较审敛法或其极限 形式判定下列级数的敛散性.
于零的速度，即无穷小量阶的大小.
例2 中， 一般项 1 与 1 为等价无穷小量, n(n 1) n
由 1 发散, 得
1
发散.
n1 n
n1 n(n 1)
方法： 通过无穷小量的等价关系, 简化 un 的通项 un ,
n1
进而利用已知级数的敛散性判别.
比较审敛法的不便: 需要有一个已知敛散性的级数作为比较的对象.