双 曲 线
是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.
解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程
为122
22=-b
y a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252
222=--b y .1121322
22=-b
y
解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)
11213(1) 1)55(12252
2
222
2
22b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程
（1）得,1)55125(12252222
=--b
b
化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：
.1625
1442
2=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 2
1sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．
解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，
)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得242
1
=⨯=
-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为13
2
2=-
y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准
线的距离为l .
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.
典型例题
（1）解：依题意有：.
3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧=+==b a c b a c a
a b
解得
可得双曲线方程为.13
2
2
=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性
,
33,33,
13.),,(222
0202
20
2
22
020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PN
PM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设
所以.333332
22
02=-+--=⋅x x x x k k P P PN
PM 例3. 设双曲线C ：12
22
=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。
（1）若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121=⋅Q A P A ，求点T 的坐标； （2）求直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的轨迹E 的方程；
（3）过点F （1，0）作直线l 与（Ⅱ）中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设λ=，若||],1,2[TB TA +--∈求λ（T 为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
解：（1）由题，得)0,2(),0,2(21A A -，设),(),,(0000y x Q y x P - 则).,2(),,2(002001y x Q A y x P A --=+=
由.3,1212020202021=-=--⇒=⋅y x y x A A 即 …………① 又),(00y x P 在双曲线上，则.12
2
02
0=-y x …………② 联立①、②，解得 20±=x
由题意， .2 ,000=∴>x x ∴点T 的坐标为（2，0） …………3分
（2）设直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的坐标为（x ，y ） 由A 1、P 、M 三点共线，得
)2()2(00+=+x y y x …………③ …………1分
由A 2、Q 、M 三点共线，得
)2()2(00--=-x y y x …………④ …………1分
联立③、④，解得 .2,2
00x
y
y x x ==
…………1分 ∵),(00y x P 在双曲线上， ∴.1)2(2)2(22
=-x
y x
∴轨迹E 的方程为).0,0( 12
22
≠≠=+y x y x …………1分 （3）容易验证直线l 的斜率不为0。
故可设直线l 的方程为 12
122
=++=y x ky x ，代入中，得 .024)2(22=+++ky y k
设 00),,(),,(212211≠≠y y y x B y x A 且
则由根与系数的关系，得2
2221+-=+k k y y ……⑤
.22
221+-=k y y ……⑥ …………2分
∵，FB FA λ= ∴有.02
1<=λλ，且y y
将⑤式平方除以⑥式，得 2
42124222222221+-=++⇒+-=++k k k k y y y y λλ …………1分 由021
2125]1,2[≤++⇒-≤+≤-
⇒--∈λ
λλλλ .7207202
4212222≤≤⇒≤⇒≤+-≤-⇒k k k k …………1分
∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x y x y x +-+=+∴-=-=
又.2
)
1(42)(4,222221212
21++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y 故2212212)()4(||y y x x TB TA ++-+=+
2
22222222222)
2(8
)2(28)2(16)2(4)2()1(15+++-+=++++=k k k k k k k 2
22)2(8
22816+++-=k k 令720.2
122
≤≤+=k k t Θ ∴21211672≤+≤k ，即 ].21
,167[∈t ∴.2
17)47(816288)(||22
2-
-=+-==+t t t t f 而 ]21,167[∈t ， ∴].32
169
,4[)(∈t f
∴].8
2
13,
2[||∈+ 变式训练1：)已知中心在原点，左、右顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率为
3
21的双曲线C 经过点P （6,6），动直线l 经过△A 1PA 2的重心G 与双曲线C 交于不同两点M 、N ，Q 为线段MN 的中点. （1）求双曲线C 的标准方程
（2）当直线l 的斜率为何值时，022=⋅PA QA 。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。
解（1）设双曲线C 的方程为()0,0122
22>>=-b a b
y a x
,
34,
37,37,321222
222
=∴=+=∴=a
b a b a e e 即Θ 又P （6,6）在双曲线C 上，1363622=-∴b
a
由①、②解得.12,92
2==b a
所以双曲线C 的方程为
112
92
2=-y x 。
（2）由双曲线C 的方程可得()()()6,6P ,0,3,0,321又A A -
所以△A 1PA 2的重点G （2,2）
设直线l 的方程为()22+-=x k y 代入C 的方程，整理得
()()()()()()
00221122
2
,,,,,0
421211234y x Q y x N y x M k k x k k x
k 又设=+---+-
()()()()()112
63116,1,0.1263183,2.4
31822;431622
222002
0022102222-=-+-∴
-=⋅∴=⋅-+-=-==--=+-=--=+=k k k k k PA QA k k k x y k k k k x k y k k k x x x QA PA QA PA Θ 整理得041032
=+-k k
解得313
5±=
k 由③，可得()
⎪⎩⎪⎨⎧>+--=∆≠-0
1685480
342
2
k k k ① ②② ③③
④②
解得3
3
2,54645464±≠-<<+-
k k 且 由④、⑤，得3
13
5-=k
5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．
⑤③。